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Octaedro

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Regular Octahedron
Octaedro
(Clique aqui para modelo de rotação)
Tipo Sólido platônico
Elementos F = 8, E = 12
V = 6 (χ = 2)
Faces por lados 8 {3}
Símbolo Schläfli {3,4}
Wythoff símbolo 4 | 2 3
Coxeter-Dynkin CDel node.png CDel 4.png CDel node.png CDel 3.png CDel nó 1.png
Simetria O h, BC 3, [4,3], (* 432)
Grupo de rotação O, [4,3] +, (432)
Referências L 05, C 17, W 2
Propriedades Regular convexo deltaedro
Diedro 109,47122 ° = arccos (-1/3)
Octaedro
3.3.3.3
( Vertex figura)
Hexahedron.png
Cubo
( poliedro dual)
Octaedro
Líquido

Um octaedro (plural: octahedra) é um poliedro com oito faces. Um octaedro regular é um sólido platônico composta por oito triângulo equilátero, quatro dos quais se encontram em cada vértice.

O octaedro grupo de simetria é O H, da ordem de 48. Este grupo subgrupos incluem D 3D (12 fim), o grupo de simetria de uma triangular antiprisma; D 4h (ordem 16), o grupo de simetria de um quadrado bipirâmide; e T d (24 fim), o grupo de simetria de um retificada tetraedro . Estas simetrias podem ser enfatizadas por diferentes decorações dos rostos.

É uma imagem tridimensional polytope cruz.

Coordenadas cartesianas

Um octaedro pode ser colocado com o seu centro na origem e seus vértices sobre os eixos de coordenadas; as coordenadas cartesianas dos vértices são, então,

(± 1, 0, 0);
(0, ± 1, 0);
(0, 0, ± 1).

?rea e volume

A área A e do volume de V do octaedro regular da borda comprimento um são:

A = 2 \ sqrt {3} a ^ 2 \ approx 3.46410162a ^ 2
V = \ frac {1} {3} \ sqrt {2} a ^ 3 \ approx 0.471404521a ^ 3

Assim, o volume é quatro vezes superior à de um normal tetraedro com o mesmo comprimento de bordo, enquanto que a área de superfície é duas vezes (porque temos 8 vs 4 triângulos).

Relações geométricas

O interior da composto de dois dual tetraedros é um octaedro, e este composto, chamado de stella octangula, é a sua primeira e única stellation. Correspondentemente, um octaedro regular é o resultado de cortar de um tetraedro regular, quatro tetraedros regulares de metade do tamanho linear (isto é, retificando o tetraedro). Os vértices do octaedro mentira nos pontos médios dos lados do tetraedro e, neste sentido, refere-se a tetraedro da mesma maneira que o cuboctahedron e icosidodecaedro se relacionam com os outros sólidos platônicos. Pode-se também dividir as bordas de um octaedro, na proporção de a áurea para definir os vértices de um icosaedro. Isto é feito pela primeira vectores de colocação ao longo das arestas do octaedro de tal modo que cada face é delimitada por um ciclo, em seguida, dividindo cada aresta de forma semelhante para a média de ouro ao longo da direcção do seu vector. Há cinco octahedra que definem um determinado icosaedro desta forma, e juntos definem um composto regular.

Octaedro e tetraedros pode ser alternado para formar um vértice, aresta e face-uniforme de mosaico de espaço, chamado a octeto treliça por Buckminster Fuller. Este é o único tais azulejos salvar o tessellation regular de cubos , e é um dos 28 favos de mel uniformes convexos. Outro é um mosaico de octahedra e cuboctahedra.

O octaedro é único entre os sólidos platônicos em ter um número par de faces que se encontram em cada vértice. Por conseguinte, é o único membro do grupo que possuir planos de espelho que não passam através de qualquer uma das faces.

Usando a nomenclatura padrão para Sólidos Johnson, um octaedro seria chamado de bipirâmide quadrado.

Poliedros Relacionadas

O octaedro também pode ser considerado um tetraedro retificada. Isto pode ser demonstrado por um modelo de cara de 2 cores. Com esta coloração, o octaedro possui simetria tetraédrica.

Compare essa seqüência de truncamento entre um tetraedro e seu duplo:

Uniforme poliedro-33-t0.png
Tetraedro
Uniforme poliedro-33-t01.png
Tetraedro truncado
Uniforme poliedro-33-t1.png
octaedro
Uniforme poliedro-33-t12.png
Tetraedro truncado
Uniforme poliedro-33-t2.png
Tetraedro

Octahedra no mundo físico

Octaedro fluorita.
  • Especialmente nas RPG jogos, este sólido é conhecido como um d8 , um dos mais comuns dados poliédricos .
  • Se cada borda de um octaedro é substituído por um ohm resistor, a resistência entre os vértices opostos é de 1/2 ohms, e que entre os vértices adjacentes 12/05 ohms.
  • Cristais naturais de diamante , alum ou fluorita são comumente octaédrica.

Octahedra na música

Se você colocar notas em cada vértice de um octaedro, você pode obter uma escala de apenas seis entonação nota com propriedades notáveis - é altamente simétrico e tem oito tríades de consoantes e doze diads consoantes. Ver hexany

Outros octahedra

O octaedro regular tem 6 vértices e 12 arestas, o mínimo para um octaedro; octahedra não regular pode ter até 12 vértices e 18 arestas.

  • Prisma hexagonal: 6 quadrados, hexágonos 2
  • Heptagonal pirâmide: 7 triângulos, 1 heptágono
  • Tetragonal bipirâmide: 8, geralmente triângulos isósceles )
  • Tetraedro truncado: 4 triângulos, hexágonos 4
  • Trapezoedro Tetragonal - 8 pipas
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