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Pi

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Informações de fundo

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Quando o diâmetro de um círculo é uma, sua circunferência é π.
Lista dos números - números Irrational
ζ (3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binário 11,00100100001111110110 ...
Decimal 3,14159265358979323846 ...
Hexadecimal 3.243F6A8885A308D31319 ...
Fracção contínua 3 + \ cfrac {1} {7 + \ cfrac {1} {15 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {292 + \ ddots}}}}
Note-se que esta fracção contínua não é periódica.

Pi ou π é um dos mais importantes constantes matemáticas, aproximadamente igual a 3,14159. Ela representa a proporção de qualquer círculo circunferência 's para o seu diâmetro na geometria Euclidiana , que é a mesma que a razão da área de um círculo com o quadrado do raio. Muitas fórmulas da matemática, ciência e engenharia envolvem π.

É um número irracional , o que significa que não pode ser expressa como um fracção de m / n, onde m e n são números inteiros . Consequentemente, a sua representação decimal nunca termina ou repetições. Além de ser irracional , é uma número transcendental, o que significa que nenhuma seqüência finita de operações algébricas nos inteiros (poderes, raizes, somas, etc.) jamais poderia produzir. Durante todo a história da matemática, muito esforço tem sido feito para determinar π com mais precisão e compreender sua natureza; fascínio com o número transferiu mesmo na cultura em geral.

A letra grega π, muitas vezes explicitada pi no texto, foi adotado para o número da palavra grega para o perímetro "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizado por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. A constante é por vezes também referido como a constante circular, Arquimedes 'constante (não ser confundido com um Archimedes número), ou Número de Ludolph.

Fundamentos

A carta π

Minúscula π (a letra minúscula é usado para a constante)

O nome do Letra grega π é pi, e esta soletração é usado em contextos tipográficos quando a letra grega não está disponível ou onde seu uso poderia ser problemático. Ao se referir a esta constante, o π símbolo é sempre pronunciado como a "torta" em Inglês , a pronúncia convencional Inglês da carta. Em grego, o nome desta carta é pronunciado pi / /.

O constante é denominado "π" porque "π" é a primeira letra do grego palavras περιφέρεια (periferia) e περίμετρος (perímetro), referindo-se provavelmente a sua utilização na fórmula para calcular a circunferência, ou o perímetro, de um círculo. π é Unicode caracteres U + 03C0 (" Greek pequena carta pi ").

Definição

Circunferência = π × diâmetro

Na geometria plana euclidiana , π é definido como o proporção de um círculo 's circunferência ao seu diâmetro :

\ Pi = \ frac {c} {d}

Note-se que a relação C / d não depende do tamanho do círculo. Por exemplo, se um círculo tem o dobro do diâmetro d do círculo outra terá também duas vezes a circunferência C, mantendo a proporção de c / d. Este fato é conseqüência do semelhança de todos os círculos.

?rea do círculo = área π × da praça sombreada

Alternativamente π pode também ser definida como a razão de um círculo da área (A) para a área de um quadrado de lado igual a a raio:

\ Pi = \ frac {A} {r ^ 2}

O π constante pode ser definida de outros modos que evitam os conceitos de comprimento de arco e área, por exemplo, como duas vezes a menor x positiva para a qual cos (x) = 0. As fórmulas abaixo ilustram outras definições (equivalentes).

Irracionalidade e transcendência

O π constante é um número irracional ; isto é, não pode ser escrita como a razão de dois inteiros . Isso foi comprovado em 1761 por Johann Heinrich Lambert. No século 20, as provas foram encontrados que não requerem conhecimentos pré-requisito para além de cálculo integral. Um deles, devido a Ivan Niven, é amplamente conhecido. A prova é um pouco mais cedo semelhante por Mary Cartwright.

Além disso, é também π transcendental, como foi comprovado pela Ferdinand von Lindemann em 1882 . Isto significa que não há polinomial com racionais coeficientes dos quais é um π root. Uma consequência importante da transcendência do π é o fato de que não é constructible. Como as coordenadas de todos os pontos que podem ser construídos com régua e compasso são números constructible, é impossível quadratura do círculo, isto é, é impossível construir, usando régua e compasso sozinho, um quadrado cuja área é igual à área de um círculo dado.

Valor numérico

O valor numérico de π truncado para 50 casas decimais é:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Veja os links abaixo e as que estão em seqüência A000796 em OEIS para mais dígitos.

Embora o valor de pi calculado foi de mais do que um trilhão (10 12) dígitos, aplicações elementares, tais como calcular a circunferência de um círculo, raramente vai exigir mais do que uma dúzia de casas decimais. Por exemplo, um valor truncado para 39 casas decimais é suficiente para calcular a circunferência de qualquer círculo que se encaixa no universo observável para uma precisão comparável ao tamanho de um átomo de hidrogénio.

π em si tem uma infinita expansão decimal; porque π é um número irracional , sua expansão decimal nunca termina e não faz repita. Esta sequência infinita de dígitos tem fascinado matemáticos e leigos iguais, e muito esforço ao longo dos últimos séculos tem sido posta em computação mais dígitos e investigar as propriedades do numéricas. Apesar de muito trabalho analítico, e cálculos de supercomputadores que determinaram mais de 1 trilhão de dígitos do π, nenhum padrão simples nos dígitos jamais foi encontrado. Dígitos do π estão disponíveis em muitas páginas da web, e não há software para o cálculo de π a biliões de dígitos em qualquer computador pessoal .

Calculando π

π pode ser medida empiricamente pelo desenho de um círculo grande, em seguida, medir o seu diâmetro e circunferência, uma vez que a circunferência de um círculo é sempre π vezes o seu diâmetro. Outra abordagem baseada em geometria, devido a Arquimedes , é desenhar um círculo imaginário de raio r centrado na origem. A área do círculo pode ser aproximada pela inscrevendo um polígono regular dentro do círculo, e calculando a área do polígono; os mais lados do polígono tem, quanto mais próximo à aproximação. Em seguida, utilizando a relação que a área A de um círculo é π vezes o quadrado do raio r, π pode ser aproximada, utilizando:

\ Pi \ approx \ frac {{A_ polígono}} {r ^ 2} \!

π também pode ser calculada usando métodos puramente matemática. A maioria das fórmulas usadas para calcular o valor de π tem propriedades matemáticas desejáveis, mas são difíceis de entender sem um fundo de trigonometria e cálculo . No entanto, alguns são bastante simples, como esta forma de o Gregory-Leibniz série:

\ Pi = \ frac {4} {1} - \ frac {4} {3} + \ frac {4} {5} - \ frac {4} {7} + \ frac {4} {9} - \ frac {4} {11} \ cdots \! .

Enquanto que a série é fácil de escrever e calcular, não é imediatamente óbvio por que ele produz π. Além disso, esta série converge tão devagar que 300 termos não são suficientes para calcular π corretamente para 2 casas decimais.

História

A história de π paralelo ao desenvolvimento da matemática como um todo. Alguns autores dividem progresso em três períodos: o período durante o qual antiga π foi estudada geometricamente, a era clássica na sequência do desenvolvimento do cálculo na Europa por volta do século 17, ea idade dos computadores digitais.

Período geométrico

Que a proporção entre a circunferência com o diâmetro de um círculo é a mesma para todos os meios, e que é ligeiramente mais de 3, era conhecido por antigos geometers egípcio, babilônico, indianos e em grego. As aproximações mais antigas conhecidas datam de cerca de 1900 aC; eles são 25/8 (Babilônia) e 256/81 (Egipto), ambos a 1% do valor real. O texto indiano Shatapatha Brahmana dá π como 339/108 ≈ 3.139. O Tanakh parece sugerir, no Livro de Reis, que π = 3, que é notavelmente pior do que outras estimativas disponíveis no momento da escrita (600 aC). A interpretação da passagem está assente, como alguns acreditam que a proporção de 3:. 1 é uma circunferência exterior de um diâmetro interior de uma bacia de paredes finas, que poderiam de facto ser uma relação precisa, dependendo da espessura das paredes Ver: Valor bíblico de Pi.

Arquimedes (287-212 aC) foi o primeiro a estimar π rigorosamente. Ele percebeu que sua magnitude pode ser limitada de abaixo e acima inscrevendo em círculos polígonos regulares e cálculo dos respectivos perímetros dos polígonos exteriores e interiores:

Archimedes pi.svg

Ao usar o equivalente a 96 polígonos lados, ele provou que 223/71 <π <22/7. Tomando a média desses valores produz 3,1419. Nos séculos seguintes, a maioria desenvolvimento significativo ocorreu na ?ndia e na China. Por volta de 480, o matemático chinês Zu Chongzhi deu à aproximação π = 355/113, e mostrou que 3,1415926 <π <3,1415927, que ficaria como o valor mais preciso para π ao longo dos próximos 900 anos.

Período clássico

Até o segundo milênio, π era conhecido por menos de 10 dígitos decimais. O próximo avanço importante no estudo da π veio com o desenvolvimento de cálculo , e, em particular, a descoberta de série infinita que, em princípio autorização calcular π para qualquer precisão desejada, adicionando suficientemente muitos termos. Por volta de 1400, Madhava de Sangamagrama encontrou a tal série primeiro conhecido:

\ Frac {\ pi} {4} = 1 - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} - \ frac {1} {7} + \ cdots \!

(Agora conhecido como o Série Gregory-Leibniz desde que foi redescoberto por James Gregory e Gottfried Leibniz no século 17). Infelizmente, a velocidade de convergência é demasiado lenta para calcular tantos dígitos na prática; cerca de 4.000 termos devem ser somados para melhorar a estimativa de Arquimedes. No entanto, através da transformação da série em

\ Pi = \ sqrt {12} \, \ left (1- \ frac {1} {3 \ cdot 3} + \ frac {1} {5 \ cdot 3 ^ 2} - \ frac {1} {7 \ cdot 3 ^ 3} + \ cdots \ right) \!

Madhava foi capaz de calcular π como 3,14159265359, correta para 11 casas decimais. O recorde foi batido em 1424 pelo astrônomo persa Jamshid al-Kashi, que determinou 16 casas decimais de π.

A primeira grande contribuição europeia desde Arquimedes foi feito pelo matemático alemão Ludolph van Ceulen (1540-1610), que usou um método geométrico para calcular 35 casas decimais de π. Ele estava tão orgulhoso do cálculo, o que exigiu a maior parte de sua vida, que ele tinha os dígitos gravadas em sua lápide.

Na mesma época, os métodos de cálculo e determinação das séries infinitas e produtos para quantidades geométricas começaram a surgir na Europa. O primeiro tal representação foi o A fórmula de Viète,

\ Frac2 \ pi = \ frac {\ SQRT2} 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ SQRT2 2}} \ cdot \ frac {\ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ SQRT2}}} 2 \ cdot \ cdots \!

encontrado François Viète em 1593. Outro resultado é famosa Produto Wallis,

\ Frac {\ pi} {2} = \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7} \ cdot \ frac {8} {7} \ cdot \ frac {8} {9} \ cdots \!

escrito por John Wallis em 1655. Isaac Newton -se derivado de uma série para π e calculados 15 dígitos, embora mais tarde ele confessou: "Tenho vergonha de dizer-lhe para quantas figuras I levou estes cálculos, não tendo nenhum outro negócio no momento."

John Machin foi o primeiro a calcular 100 decimais de π, utilizando a fórmula

\ Frac {\ pi} {4} = 4 \, \ arctan \ frac {1} {5} - \ arctan \ frac {1} {239} \!

com

\ Arctan \, x = x - \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ frac {x ^ 7} {7} + \ cdots \!

Fórmulas deste tipo, agora conhecido como Machin fórmulas semelhantes, foram utilizadas para definir vários recordes sucessivos e manteve-se o método mais conhecido para calcular π bem na era dos computadores. Um registo notável foi definido pelo prodígio cálculo Zacharias Dase, que em 1844 empregava uma fórmula Machin-like para calcular 200 decimais de π em sua cabeça. O melhor valor no final do século 19 foi devido William Shanks, que levou 15 anos para calcular π com 707 dígitos, embora devido a um erro apenas o primeiro 527 estavam corretas. (Para evitar tais erros, cálculos ficha modernas de qualquer tipo são muitas vezes realizada duas vezes, com duas fórmulas diferentes. Se os resultados são os mesmos, eles são susceptíveis de ser correcta.)

Avanços teóricos no século 18 levou a insights sobre a natureza de π que não poderiam ser alcançados através de cálculos numéricos sozinho. Johann Heinrich Lambert provou a irracionalidade de π em 1761, e Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que também π 2 é irracional. Quando Leonhard Euler em 1735 resolveu o famoso Basel problema - encontrar o valor exato da

\ Frac {1} {1} ^ 2 + \ frac {1} {2} ^ 2 + \ frac {1} {3} ^ 2 + \ frac {1} {4} ^ 2 + \ cdots \!

que é π 2/6, ele estabeleceu uma ligação profunda entre π e a números primos . Ambos Legendre e Leonhard Euler especularam que π pode ser transcendental, um fato que foi comprovado em 1882 por Ferdinand von Lindemann.

William Jones 'livro A New Introdução à Matemática 1706 é citado como o primeiro texto em que o Letra grega π foi usado para esta constante, mas esta notação tornou-se particularmente popular após Leonhard Euler adotaram em 1737. Ele escreveu:

" Existem várias outras maneiras de encontrar os comprimentos ou áreas de particular linhas da curva, ou Planes, que podem muito facilitar a prática; como por exemplo, no círculo, o diâmetro é à circunferência como 1 a (16/5 - 4/239) - 1/3 (16/5 ^ 3 - 4/239 ^ 3) + ... = 3,14159. .. = π "

Computação na era do computador

O advento dos computadores digitais no século 20 levou a um aumento da taxa de novos registros de cálculo π. John von Neumann usado ENIAC para calcular 2.037 dígitos de π em 1949, um cálculo que levou 70 horas. Milhares adicionais de casas decimais foram obtidos nas décadas seguintes, com a marca de um milhão de dígitos aprovada em 1973. O progresso foi não só devido ao hardware mais rápido, mas também novos algoritmos. Um dos desenvolvimentos mais significativos foi a descoberta do Fast Fourier Transform (FFT) na década de 1960, o que permite computadores para realizar operações aritméticas em números extremamente grandes de forma rápida.

No início do século 20, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan encontrou muitas novas fórmulas para π, alguns notáveis por sua elegância e profundidade matemática. Uma de suas fórmulas mais famosas é a série

\ Frac {1} {\ pi} = \ frac {2 \ sqrt 2} {9801} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ 4 396 ^ {4k}} \!
\ Frac {426880 \ sqrt {10005}} {\ pi} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {(6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ 3 (-640.320) ^ {3k}} \!

que oferece 14 dígitos por prazo. Os irmãos Chudnovsky usado esta fórmula para definir vários registros de computação π no final da década de 1980, incluindo o primeiro cálculo de mais de um bilhão (1011196691) decimais em 1989. Continua a ser a fórmula de escolha para π cálculo software que roda em computadores pessoais, ao contrário do supercomputadores usados para definir registros modernos.

Considerando séries tipicamente aumentar a precisão com um valor fixo para cada termo adicionado, existem algoritmos iterativos que multiplicam o número de dígitos corretos em cada etapa, com a desvantagem de que cada passo geralmente requer um cálculo caro. A descoberta foi feita em 1975, quando Richard Brent e Eugene Salamin descoberto independentemente do Brent-Salamin algoritmo, que usa apenas aritmética para dobrar o número de dígitos corretos em cada etapa. O algoritmo consiste em configuração

a_0 = 1 \ quad \ quad \ quad b_0 = \ frac {1} {\ sqrt 2} \ quad \ quad \ quad t_0 = \ frac {1} {4} \ quad \ quad \ quad p_0 = 1 \!

e iteração

a_ {n + 1} = \ frac {a_n + b_n} {2} \ quad \ quad \ quad b_ {n + 1} = \ sqrt {a_n b_n} \!
t_ {n + 1} = t_n - p_n (a_n-a_ {n + 1}) ^ 2 \ quad \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2 p_n \!

até a n e b n são suficientemente perto. Em seguida, a estimativa para π é dada por

\ Pi \ approx \ frac {(a_n + b_n) ^ 2} {4} t_n \! .

Usando este esquema, 25 iterações são suficientes para chegar a 45 milhões de casas decimais corretos. Um algoritmo similar que quadruplica a precisão em cada passo foi encontrado por Jonathan e Peter Borwein. Os métodos têm sido utilizados por Yasumasa Kanada e equipe para definir a maioria dos registros de cálculo π desde 1980, até um cálculo de 206.158.430.000 decimais de π em 1999. O recorde atual é 1.241.100.000.000 casas decimais, estabelecidos pelo Canadá e da equipe em 2002. Embora a maioria dos registros anteriores de Kanada foram definidos usando o algoritmo Brent-Salamin, o cálculo 2002 fez uso de duas fórmulas Machin-like que eram mais lentos, mas crucialmente reduziu o consumo de memória. O cálculo foi realizado em um 64-nó Hitachi com um computador terabyte de memória principal, capaz de realizar 2 trilhões de operações por segundo.

Um desenvolvimento importante foi a recente Fórmula Bailey-Borwein-Plouffe (fórmula BBP), descoberto por Simon Plouffe e nomeado após os autores do documento na qual a fórmula foi publicado, David H. Bailey, Peter Borwein, e Plouffe. A fórmula,

\ Pi = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {16 ^ k} \ left (\ frac {4} {1} 8k + - \ frac {2} {8k + 4} - \ frac {1} {8k + 5} - \ frac {1} {8k + 6} \ right),

é notável porque permite extrair qualquer indivíduo hexadecimal ou binário dígitos de π sem calcular todas as precedentes. Entre 1998 e 2000, o projeto de computação distribuída PiHex utilizada uma modificação da fórmula BBP devido Fabrice Bellard para calcular a quadrillionth (1.000.000.000.000.000: th) pouco de π, que acabou por ser 0.

Dígitos de memorização

Recente décadas têm visto um aumento no número recorde de dígitos memorizados.

Mesmo muito antes que os computadores calcularam o π, memorizar um número recorde de dígitos transformou-se uma obsessão para algumas pessoas. Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, alegou ter recitado 100.000 casas decimais. Isto, no entanto, ainda tem de ser verificada por meio de Guinness World Records. O registro Guinness-reconhecido para dígitos recordados do π é 67.890 dígitos, detidas por Lu Chao, um estudante de pós-graduação de 24 anos de idade, de China. Ele levou 24 horas e 4 minutos para recitar à casa decimal 67890 de π sem um erro.

Há muitas maneiras para memorizar π, incluindo o uso de "piems", que são versos que representam π de uma maneira tal que o comprimento de cada termo (em letras) representa um dígito. Aqui está um exemplo de um piem: Como é que eu preciso de uma bebida, alcoólica na natureza (ou: é claro)., Após as palestras pesados que envolvem a mecânica quântica Observe como a primeira palavra tem três letras, a segunda palavra tem um, o terceiro tem 4, o quarto tem 1, o quinto tem 5, e assim por diante. O Cadaeic Cadência contém os primeiros 3834 dígitos do π desta maneira. Piems estão relacionados a todo o campo de estudo humor ainda grave que envolve o uso de técnicas mnemônicas recordar os dígitos do π, conhecido como piphilology. Ver Mnemônicos Pi para exemplos. Em outras línguas existem métodos semelhantes de memorização. No entanto, este método prova incapaz para grandes memorizações de pi. Outros métodos incluem padrões recordação nos números; por exemplo, o ano de 1971 aparece nos primeiros cinquenta dígitos do pi.

Propriedades avançadas

Aproximações numéricas

Devido à natureza transcendental de π, não há expressões de forma fechada para o número em termos de números e funções algébricas. Fórmulas para calcular π usando aritmética elementar incluem tipicamente série ou notação somatório (tais como "..."), o que indica que a fórmula é realmente uma fórmula para uma sequência infinita de aproximações para π. Quanto mais termos incluídos em um cálculo, quanto mais próximo de π o resultado terá.

Consequentemente, os cálculos numéricos deve usar aproximações de π. Para muitas finalidades, 3,14 ou 22/7 é perto o suficiente, embora os engenheiros costumam usar 3,1416 (5 algarismos significativos) ou 3,14159 (6 algarismos significativos) para mais precisão. As aproximações 22/7 e 355/113, com 3 e 7 figuras significativas, respectivamente, são obtidos a partir do simples expansão fração continuada de π. A aproximação 355/113 (3,1415929 ...) é o melhor que pode ser expresso com três dígitos ou quatro dígitos numerador e denominador .

A mais antiga aproximação numérica de π é quase certamente o valor 3. Nos casos em que é necessária pouca precisão, pode ser um substituto aceitável. 3 que é uma subestimativa decorre do facto de que é a razão entre o perímetro de um inscrito regulares hexágono ao diâmetro do círculo .

Naturalidade

Em geometria não-euclideana a soma dos ângulos de um triângulo podem ser mais ou menos do que π radianos , e a razão da circunferência de um círculo com o seu diâmetro pode também diferir de π. Isso não altera a definição de π, mas afeta muitas fórmulas em que π aparece. Assim, em particular, π não é afectado pela forma do Universo; não é um constante física, mas uma constante matemática definida independentemente de quaisquer medidas físicas. No entanto, ocorre muitas vezes na física.

Por exemplo, considere a lei de Coulomb ( Unidades SI):

F = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ left | q_1 q_2 \ right |} {r ^ 2}.

Aqui, quatro πr 2 é apenas a área de superfície da esfera de raio r. Nesta forma, é uma maneira conveniente de descrever a relação do inverso do quadrado da força a uma distância r de uma fonte pontual. Seria, claro, ser possível descrever esta lei na outra, mas menos conveniente formas, ou em alguns casos, mais conveniente. Se Carga de Planck é utilizado, ele pode ser escrito como

F = \ frac {q_2 q_1} {r ^ 2}

e assim eliminar a necessidade de π.

Perguntas abertas

A questão mais premente aberto sobre π é se é um número normal - se qualquer bloco de dígitos ocorre na expansão de π com a mesma frequência como seria de esperar estatisticamente se os dígitos tinha sido produzido completamente "aleatoriamente", e que isso é verdade em cada base, não apenas basear 10. O conhecimento atual sobre este ponto é muito fraca; por exemplo, não se sabe sequer qual dos dígitos 0, ..., 9 ocorrer infinitas vezes na expansão decimal de π.

Bailey e Crandall mostraram em 2000 que a existência do acima mencionado Fórmula Bailey-Borwein-Plouffe e fórmulas semelhantes implicam que a normalidade em 2 de base π e várias outras constantes pode ser reduzida para um plausível conjectura da teoria do caos .

Também é desconhecido se e π e são algebricamente independente, embora Yuri Nesterenko mostrou a independência algébrica de {π, e π, Γ (1/4)} em 1996. No entanto, sabe-se que pelo menos um dos πe e π + e se encontra transcendental (veja Teorema Lindemann-Weierstrass).

Use em matemática e ciências

π é ubíquo na matemática, aparecendo mesmo nos lugares que faltam uma conexão óbvia aos círculos da geometria euclidiana.

Geometria e trigonometria

Para qualquer círculo de raio r e do diâmetro d = 2 r, a circunferência é π d e a área é π r 2. Além disso, π aparece nas fórmulas para as zonas e volumes de muitas outras formas geométricas com base em círculos, tais como elipses , esferas , cones, e tori . Assim, π aparece na integrais definidas que descrevem circunferência, área ou volume de formas geradas por círculos. No caso básico, a metade da área da disco de unidade é dada por:

\ Int _ {- 1} ^ 1 \ sqrt {1-x ^ 2} \, dx = \ frac {\ pi} {2}

e

\ Int _ {- 1} ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \, dx = \ pi

dá metade da circunferência do círculo unitário. Formas mais complicadas pode ser integrado como sólidos de revolução.

A partir da definição unidade-círculo das funções trigonométricas também resulta que o seno e cosseno têm período 2π. Isto é, para todos os x e n números inteiros, sen (x) = sen (x + 2π n) e cos (x) = cos (x + 2π n). Porque sin (0) = 0, sen (2π n) = 0 para todos os inteiros n. Além disso, a medida do ângulo de 180 ° é igual a π radianos. Em outras palavras, 1 ° = (π / 180) radianos.

Em matemática moderna, π é muitas vezes definido usando as funções trigonométricas, por exemplo, como os menores x positivos para os quais sen x = 0, para evitar a dependência desnecessária de as sutilezas da geometria euclidiana e integração. Equivalentemente, π pode ser definida usando o funções trigonométricas inversas, por exemplo, como π = 2 arccos (0) ou π = 4 arctan (1). Expandindo funções trigonométricas inversas como séries de potência é a maneira mais fácil para derivar série infinita de π.

Análise superior e teoria dos números

Formula.svg de Euler

O aparecimento frequente de π em análise complexa pode ser relacionada com o comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrito pela A fórmula de Euler

e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi \!

onde i é a unidade imaginária satisfazer i 2 = -1 e e ≈ 2,71828 é Número de Euler. Esta fórmula implica que os poderes imaginários de descrever e rotações na círculo unitário no plano complexo; estas rotações de um prazo de 360 ° = 2π. Em particular, os 180 ° de rotação φ = π resulta na notável identidade de Euler

e ^ {i \ pi} = -1. \!

n diferente n -ésimo raízes da unidade

e ^ {2 \ pi ik / N} \ qquad (k = 0, 1, 2, \ pontos, n - 1).

O Gaussian integrante

\ Int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2} dx = \ sqrt {\ pi}.

Uma consequência disso é que o função gama de um semi-inteiro é um múltiplo de √π racional.

Física

O π número aparece rotineiramente nas equações que descrevem os princípios fundamentais do universo, devidos em nenhuma parte pequena a sua relação à natureza do círculo e, correspondentemente, dos sistemas coordenados esféricos.

  • O constante cosmológica:
\ Lambda = {{8 \ pi G} \ over {3-C ^ 2}} \ rho
  • Princípio da incerteza de Heisenberg:
\ Delta x \, \ Delta p \ ge \ frac {h} {4 \ pi}
R_ {ik} - {{ik} g_ R \ over 2} + \ Lambda g_ {ik} = {8 \ pi G \ over c ^ 4} T_ {ik}
F = \ frac {\ left | q_1q_2 \ right |} {4 \ pi \ varepsilon_0 r ^ 2}
  • Permeabilidade magnética do espaço livre:
\ Mu_0 = 4 \ pi \ cdot 10 ^ {- 7} \, \ mathrm {N / A ^ 2} \,
\ Frac {P ^ 2} {3} a ^ = {(2 \ pi) ^ 2 \ over G (M + m)}

Probabilidade e estatística

Em probabilidade e estatísticas , existem muitas distribuições cujas fórmulas contêm π, incluindo:

f (x) = {1 \ over \ sigma \ sqrt {2 \ pi}} \, e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / (2 \ sigma ^ 2)}
  • a função de densidade de probabilidade para o (padrão) Distribuição Cauchy:
f (x) = \ frac {1} {\ pi (1 + x ^ 2)}.

Note-se que desde \ Int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = 1 para qualquer função de densidade de probabilidade f (x), as fórmulas acima mencionadas podem ser utilizadas para produzir outras fórmulas para π integrais.

Problema da agulha de Buffon é algumas vezes citado como uma aproximação empírica de π em "matemática populares" funciona. Considerar deixar cair uma agulha de comprimento L repetidamente em uma superfície que contém linhas paralelas traçadas unidades S apart (com S> L). Se a agulha é descartada n vezes e x dessas vezes ele vem para descansar cruzando uma linha (x> 0), então pode-se aproximar π usando o método de Monte Carlo :

\ Pi \ approx \ frac {2NL} {} xS.

Embora este resultado é matematicamente impecável, não pode ser utilizada para determinar mais do que muito poucos dígitos de π por experiência. Reliably ficando apenas três dígitos (incluindo o "3" inicial) direito exige milhões de lança, eo número de lances cresce exponencialmente com o número de dígitos desejados. Além disso, qualquer erro na medição do comprimento L e S irá transferir directamente a um erro na π aproximada. Por exemplo, uma diferença de um único átomo de em o comprimento de uma agulha de 10 centímetros iria aparecer em torno do dia 9 dígitos do resultado. Na prática, as incertezas em determinar se a agulha na verdade, cruza uma linha quando ele aparece para tocar exatamente que vai limitar a precisão atingível para muito menos do que 9 dígitos.

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