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Sólido platônico

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"Sólido platônico 'é um convexo poliedro regular. Estes são os análogos tridimensionais da convexa polígonos regulares. Há precisamente cinco tais números (mostrados abaixo). Eles são únicos em que as faces, arestas e ângulos são todos congruentes.

A poliedros regulares Cinco Convex (sólidos platônicos)
Tetraedro Hexaedro
ou Cube
Octaedro Dodecaedro Icosahedron
Tetrahedron.svg

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O nome de cada valor é derivado a partir do número das suas faces, respectivamente: 4, 6, 8, 12, e 20.

O beleza estética e simetria dos sólidos platônicos fizeram-lhes um assunto favorito de geometers por milhares de anos. Eles são nomeados para o antigo filósofo grego Platão que teorizou a elementos clássicos foram construídos a partir dos sólidos regulares.

História

Modelo sólido platônico de Kepler do sistema solar a partir de Cosmographicum Mysterium (1596)

Os sólidos platônicos foram conhecidos desde a antiguidade. Modelos ornamentados deles pode ser encontrado entre o bolas de pedra esculpida criada pelo falecido pessoas neolíticos de Scotland pelo menos 1000 anos antes de Platão (Atiyah e Sutcliffe, 2003).

Os antigos gregos estudaram os sólidos platônicos extensivamente. Algumas fontes (tais como Proclo) crédito Pitágoras com sua descoberta. Outras evidências sugerem que pode ter sido apenas familiarizados com o tetraedro, cubo, e dodecaedro, e que a descoberta do octaedro e icosaedro pertencem Theaetetus, um contemporâneo de Platão. Em qualquer caso, Theaetetus deu uma descrição matemática de todos os cinco e pode ter sido responsável pela primeira prova conhecida que não há nenhum outro convexo poliedros regulares.

Os sólidos platônicos um lugar de destaque na filosofia de Platão , para quem eles são nomeados. Platão escreveu sobre eles no diálogo Timeu c 0,360 BC no qual ele associava cada um dos quatro elementos clássicos ( terra, ar, água, e fogo) com um sólido regular. Terra foi associado com o cubo, octaedro com o ar, a água com o icosaedro, e fogo com o tetraedro. Não havia justificação intuitiva para essas associações: o calor do fogo sente aguda e penetrante (como pouco tetraedros). Ar é feita do octaedro; seus componentes minúsculos são tão suave que se pode sentir mal. ?gua, o icosaedro, flui para fora de sua mão quando pegou, como se ela é feita de pequenas bolas minúsculas. Por outro lado, um sólido altamente un-esférica, o hexaedro (cubo) representa a terra. Estes sólidos pouco desajeitado causar sujeira a desmoronar-se e quebrar ao adquirir, em gritante diferença para o bom fluxo de água. O quinto platônica sólidos, o dodecaedro, Platão observações obscuramente, "... o deus usado para organizar as constelações em todo o céu". Aristóteles adicionou um quinto elemento, aither (éter em latim, "éter", em Inglês) e postulou que foram feitos os céus deste elemento, mas ele não tinha interesse em correspondência-lo com Platão quinto sólido.

Euclides deu uma descrição matemática completa dos sólidos platônicos nos elementos ; o último livro (Livro XIII) das quais é dedicada a suas propriedades. Proposições 13-17 em Livro XIII descrevem a construção do tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro nessa ordem. Para cada Euclides sólido encontra a relação entre o diâmetro da esfera circunscrita ao comprimento da aresta. Em Proposição 18, ele argumenta que não há mais poliedros regulares convexo. Grande parte da informação no Livro XIII é provavelmente derivado do trabalho de Teeteto.

No século 16 , o Alemão astrônomo Johannes Kepler tentou encontrar uma relação entre os cinco conhecidos planetas na época (excluindo a Terra) e os cinco sólidos platônicos. Em Mysterium Cosmographicum, publicada em 1596, Kepler estabelecido um modelo do sistema de energia solar , em que as cinco sólidos foram fixados no interior um do outro e separados por uma série de esferas inscritos e circunscrito. Os seis esferas cada correspondeu a um dos planetas ( Mercúrio , Vênus , Terra , Marte , Júpiter e Saturno ). Os sólidos foram encomendados com o ser interior do octaedro, seguido pela icosaedro, dodecaedro, tetraedro, e, finalmente, o cubo. Desta forma, a estrutura do sistema solar e as relações de distância entre os planetas foi ditado pelos sólidos Platônicas. No final, a idéia original de Kepler teve de ser abandonado, mas fora de sua pesquisa veio a descoberta do Sólidos Kepler, a percepção de que as órbitas dos planetas não são círculos, e Leis de Kepler para o qual ele é agora famoso.

Propriedades combinatórias

Um poliedro convexo é um sólido platônico se e somente se

  1. todas as suas faces são convexo congruente polígonos regulares,
  2. nenhuma das suas faces interceptam excepto nas suas extremidades, e
  3. o mesmo número de faces se encontram em cada um dos seus vértices.

Cada lata sólido platônico, portanto, ser indicado por um símbolo {p, q} onde

p = o número de lados de cada face (ou o número de vértices de cada face) e
q = o número de faces que se encontram em cada vértice (ou o número de arestas de encontro em cada vértice).

O símbolo {p, q}, o chamado Símbolo Schläfli, dá uma combinatória descrição do poliedro. Os símbolos de Schläfli cinco sólidos Platônicas são dadas na tabela abaixo.

Poliedro Vértices Edges Faces Símbolo Schläfli Vértice
configuração
tetraedro Tetraedro 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
cubo Hexahedron (cubo) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
octaedro Octaedro 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
dodecaedro Dodecaedro 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
icosaedro Icosahedron 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

Todas as outras informações sobre combinatória estes sólidos, tais como o número total de vértices (V), as bordas (E), e as faces (F), pode ser determinada a partir de p e q. Uma vez que qualquer borda une dois vértices e tem duas faces adjacentes devemos ter:

pF = 2E = qV. \,

A outra relação entre estes valores é determinado pela fórmula de Euler :

V - E + F = 2 \,

Este fato não trivial pode ser provada em uma grande variedade de formas (em topologia algébrica decorre do fato de que a característica de Euler da esfera é 2). Em conjunto, estes três relações determinar completamente V, E, e F:

V = \ frac {4p} {4 - (p-2) (q-2)}, \ quad E = \ frac {2pq} {4 - (p-2) (q-2)}, \ quad F = \ frac {4q} {4 - (p-2) (q-2)}.

Note que trocar peq intercâmbios F e V, deixando E inalterada (Para uma interpretação geométrica deste fato consulte a seção sobre dupla poliedros abaixo).

Classificação

É um resultado clássico que há apenas cinco poliedros regulares convexo. Dois argumentos comuns são apresentados abaixo. Ambos estes argumentos só mostram que não pode haver mais de cinco sólidos platônicos. Que todos os cinco realmente existe é uma questão separada-one que podem ser respondidas por uma construção explícita.

Prova geométrica

A seguinte discussão geométrico é muito semelhante ao dado por Euclides nos Elementos:

  1. Cada vértice do sólido devem coincidir com um vértice cada um de pelo menos três faces.
  2. Em cada vértice do sólido, o total, entre as faces adjacentes, os ângulos entre os respectivos lados adjacentes deve ser inferior a 360 °.
  3. Os ângulos em todos os vértices de todas as faces de um sólido platônico são idênticos, de modo que cada vértice de cada face deve contribuir menos de 360 ° / 3 = 120 °.
  4. Polígonos regulares de seis ou mais lados têm apenas ângulos de 120 ° ou mais, para que o rosto comum deve ser o triângulo, quadrado ou pentágono. E para:
    • Triangulares faces: cada vértice de um triângulo regular é de 60 °, de modo que uma forma pode ter 3, 4 ou 5 triângulos de reuniões em um vértice; estes são o tetraedro, octaedro, icosaedro e respectivamente.
    • Praça enfrenta: cada vértice de um quadrado é de 90 °, por isso não é apenas um arranjo possível com três faces em um vértice, o cubo.
    • Pentagonal enfrenta: cada vértice é de 108 °; novamente, apenas um arranjo, de três faces em um vértice for possível, o dodecaedro.

Prova topológica

Um puramente topológico prova pode ser feita usando apenas uma informação sobre os sólidos combinatória. A chave é a observação de Euler que V - E + F = 2 , E o facto de que pF = 2E = qV . Combinando estas equações obtém-se a equação

\ Frac {2E} {q} - E + \ frac {2E} {p} = 2.

Manipulação algébrica simples, em seguida, dá

{1 \ over q} + {1 \ over p} = {1 \ over 2} + {1 \ over E}.

Desde E é estritamente positivo, devemos ter

\ Frac {1} {q} + \ frac {1} {p}> \ frac {1} {2}.

Usando o fato de que p e q devem ambos ser, pelo menos, 3, pode-se facilmente ver que há apenas cinco possibilidades de {p, q}:

\ {3, 3 \}, \ quad \ {4, 3 \}, \ quad \ {3, 4 \}, \ quad \ {5, 3 \}, \ quad \ {3,5 \}.

Propriedades geométricas

Angles

Há um número de ângulos associados com cada sólido platónico. O diedro é o ângulo interior entre dois planos de face. O ângulo diedro, θ, do sólido {p, q} é dada pela fórmula

\ Sin {\ theta \ over 2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / p)}.

Isto é por vezes mais convenientemente expressa em termos da tangente de

\ Tan {\ theta \ over 2} = \ frac {\ cos (\ pi / q)} {\ sin (\ pi / h)}.

A quantidade de h é 4, 6, 6, 10, e 10 para o tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro respectivamente.

O deficiência angular no vértice de um poliedro é a diferença entre a soma dos ângulos de face-a esse vértice e 2π. O defeito, δ, em qualquer vértice dos sólidos Platônicas {p, q} é

\ Delta = 2 \ pi - q \ pi \ left (1- {2 \ over p} \ right).

Por Teorema Descartes, esta é igual a 4π dividido pelo número de vértices (isto é, a avaria total em todos os vértices é 4π).

O análogo 3-dimensional de um ângulo plano é um ângulo sólido. O ângulo sólido, Ω, no vértice de um sólido platônico é dada em termos de ângulo de diedro por

\ Omega = q \ theta -. (Q-2) \ pi \,

Isso decorre do fórmula excesso esférico para uma polígono esférica e o facto de a número de vértice do poliedro {p, q} é um Gon q regular.

Os vários ângulos associados com os sólidos Platônicas estão tabelados abaixo. Os valores numéricos dos ângulos sólidos são dados em steradians. A constante φ = (1 + √5) / 2 é a razão de ouro .

Poliedro Diedro
(\ Theta) \,
\ Tan \ frac {\ theta} {2} Defeito (\ Delta) \, Ângulo sólido (\ Omega) \,
tetraedro 70,53 ° 1 \ over {\ sqrt 2}\ Pi \,\ Cos ^ {- 1} \ left (\ frac {23} {27} \ right)\ Approx 0.551286
cubo 90 ° 1 \,\ Pi \ over 2\ Frac {\ pi} {2}\ Approx 1,57080
octaedro 109,47 ° \ Sqrt 2{2 \ pi} \ over 3 4 \ pecado ^ {- 1} \ left ({1 \ over 3} \ right)\ Approx 1,35935
dodecaedro 116,57 ° \ Varphi \,\ Pi \ over 5\ Pi - \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2} {11} \ right)\ Approx 2,96174
icosaedro 138,19 ° \ Varphi ^ 2 \,\ Pi \ over 32 \ pi - 5 \ pecado ^ {- 1} \ left ({2 \ over 3} \ right)\ Approx 2,63455

Raios, área e volume

Outra virtude de regularidade é que os sólidos platônicos todos possuem três esferas concêntricas:

  • o esfera circunscrita que passa por todos os vértices,
  • o midsphere que é tangente a cada aresta, no ponto médio da aresta, e
  • o esfera inscrita qual é tangente a cada cara no centro da face.

O raios de essas esferas são chamados a circumradius, o midradius, eo inradius. Estas são as distâncias do centro do poliedro para os vértices, pontos médios de borda, e centros de faces, respectivamente. O R circumradius e o inradius r do sólido {p, q} com um comprimento de bordo são dadas pela

R = \ left ({a \ over 2} \ right) \ \ frac tan {\ pi} {q} \ tan \ frac {\ theta} {2}
r = \ left ({a \ over 2} \ right) \ berço \ frac {\ pi} {p} \ tan \ frac {\ theta} {2}

onde θ é o ângulo diedro. O ρ midradius é dada pela

\ Rho = \ left ({a \ over 2} \ right) \ frac {\ cos (\ pi / p)} {\ sin (\ pi / h)}

em que h é a quantidade utilizada acima na definição do ângulo diedro (H = 4, 6, 6, 10, ou 10). Note-se que a razão entre o circumradius ao inradius é simétrica em p e q:

{R \ over r} = \ tan \ frac {\ pi} {p} \ tan \ frac {\ pi} {q}.

O área de superfície, A, de um sólido platônico {p, q} é facilmente calculado como área de uma p-gon tempos regulares o número de faces F. Isto é:

A = \ left ({a \ over 2} \ right) ^ 2 Fp \ berço \ frac {\ pi} {p}.

O volume de F é calculado como vezes o volume do pirâmide cuja base é um Gon p regular e cuja altura é o inradius r. Isto é,

V = {1 \ over 3} Ra.

A tabela a seguir lista os vários raios dos sólidos platônicos junto com sua área de superfície e volume. O tamanho global é fixada tomando o comprimento da aresta, uma, para ser igual a dois.

Poliedro
(A = 2)
Inradius (r) Midradius (ρ) Circumradius (R) Superfície (A) Volume (V)
tetraedro 1 \ over {\ sqrt 6}1 \ over {\ sqrt 2}\ Sqrt {3 \ over 2}4 \ sqrt 3\ Frac {2 \ sqrt 2} {3}
cubo 1 \,\ Sqrt 2\ Sqrt 324 \,8 \,
octaedro \ Sqrt {2 \ over 3}1 \,\ Sqrt 28 \ sqrt 3\ Frac {8 \ sqrt 2} {3}
dodecaedro \ Frac {\ varphi ^ 2} {\ xi}\ Varphi ^ 2\ Sqrt 3 \, \ varphi60 \ frac {\ varphi} {\ xi}20 \ frac {\ varphi ^ 3} {\ xi ^ 2}
icosaedro \ Frac {\ varphi ^ 2} {\ sqrt 3}\ Varphi\ Xi \ varphi20 \ sqrt 3\ Frac {20 \ varphi ^ 2} {3}

As constantes e φ ξ na acima são dadas por

\ Varphi = 2 \ cos {\ pi \ over 5} = \ frac {1 + \ sqrt 5} {2} \ qquad \ xi = 2 \ sin {\ pi \ over 5} = \ sqrt {\ frac {5- \ sqrt 5} {2}} = 5 ^ {1/4} \ varphi ^ {- 1/2}.

Entre os sólidos platônicos, quer o dodecaedro ou o icosaedro pode ser visto como a melhor aproximação à esfera. O icosaedro tem o maior número de faces, o maior ângulo diedro, e abraça sua esfera inscrita mais apertados. O dodecaedro, por outro lado, tem o menor defeito angular, o vértice do ângulo sólido maior, e que preenche a sua esfera circunscrita mais.

Simetria

Dupla poliedros

Um cubo octaedro-dual.

Cada um poliedro poliedro dual com faces e vértices trocados. A dupla de cada sólido platônico é outro sólido platónico, para que possamos providenciar os cinco sólidos em duplas duplas.

  • O tetraedro é auto-dual (ou seja, sua dupla é outro tetraedro).
  • O cubo ea octaedro formar uma dupla par.
  • O dodecaedro eo icosaedro formar uma dupla par.

Se um poliedro tem símbolo Schläfli {p, q}, em seguida, sua dupla tem o símbolo {q, p}. Na verdade cada propriedade combinatória de um sólido platônico pode ser interpretado como uma outra propriedade combinatória da dupla.

Pode-se construir o poliedro dupla, tendo os vértices da dupla a ser os centros das faces da figura original. Os bordos da dupla são formados ligando os centros das faces adjacentes no original. Desta forma, o número de faces e vértices é intercambiados, enquanto que o número de arestas permanece o mesmo.

Mais geralmente, pode-se dualize um sólido platônico no que diz respeito a uma esfera de raio d concêntrico com o sólido. Os raios (R, ρ, R) de um sólido e dos seus dupla (R *, ρ *, R *) estão relacionados pela

d ^ 2 = R ^ \ ast r = r ^ \ ast R = \ rho ^ \ ast \ rho.

É muitas vezes conveniente dualize com respeito ao midsphere (d = ρ) uma vez que tem a mesma relação para ambos poliedros. Tomando d 2 = Rr dá um sólido dupla com o mesmo circumradius e inradius (isto é, R = R * e R * = R).

Grupos de simetria

Em matemática, o conceito de simetria é estudado com a noção de um grupo matemático . Cada poliedro tem um associado grupo de simetria, que é o conjunto de todas as transformações ( Isometries euclidianas) que deixam o invariante poliedro. O fim do grupo de simetria é o número de simetrias do poliedro. Um muitas vezes distingue entre o grupo de simetria completa, que inclui reflexões, e o grupo de simetria apropriada, que inclui apenas rotações.

Os grupos de simetria dos sólidos platônicos são conhecidos como grupos poliédricas (que são uma classe especial de a grupos de pontos em três dimensões). O elevado grau de simetria dos sólidos Platônicas podem ser interpretados de várias formas. Mais importante ainda, os vértices de cada sólido são todos equivalente nos termos da ação do grupo de simetria, assim como as arestas e as faces. Diz-se a acção do grupo de simetria é transitivo nos vértices, arestas e faces. Na verdade, esta é uma outra maneira de definir regularidade de um poliedro: um poliedro é regular, se e somente se ela é vértice-uniforme, borda uniforme, e enfrentar uniforme.

Existem apenas três grupos de simetria associados com os sólidos Platônicas em vez de cinco, uma vez que o grupo de simetria de qualquer poliedro coincide com a da sua dupla. Isto é facilmente visto examinando a construção da dupla poliedro. Qualquer simetria do original deve ser uma simetria da dupla e vice-versa. Os três grupos são poliédricas:

  • o grupo tetraédrico t,
  • o O grupo octaédrica (que também é o grupo de simetria do cubo), e
  • o icosaédrica grupo I (que também é o grupo de simetria do dodecaedro).

As ordens dos grupos (rotação) adequados são 12, 24 e 60, respectivamente - precisamente o dobro do número de arestas no respectivo poliedros. As ordens dos grupos de simetria completos são duas vezes mais novo (24, 48 e 120). Ver (Coxeter 1973) para uma derivação desses fatos.

A tabela a seguir lista as várias propriedades de simetria dos sólidos platônicos. Os grupos de simetria listados são os grupos completos com os subgrupos de rotação dadas em parêntesis (do mesmo modo para o número de simetrias). Construção caleidoscópio de Wythoff é um método para a construção de poliedros diretamente de seus grupos de simetria. Listamos para símbolo de referência de Wythoff para cada um dos sólidos platônicos.

Poliedro Símbolo Schläfli Wythoff símbolo Poliedro dual Simetrias Grupo de simetria
tetraedro {3, 3} 3 | 3 2 tetraedro 24 (12) T d (T)
cubo {4, 3} 3 | 2 4 octaedro 48 (24) O h (S)
octaedro {3, 4} 4 | 2 3 cubo
dodecaedro {5, 3} 3 | 2 5 icosaedro 120 (60) I H (I)
icosaedro {3, 5} 5 | 2 3 dodecaedro

Na natureza e tecnologia

O tetraedro, cubo, octaedro e todas ocorrem naturalmente em estruturas cristalinas. Estes não esgotam os números de possíveis formas de cristais. No entanto, nem o icosaedro regular, nem o dodecaedro regular são entre eles. Uma das formas, o chamado pyritohedron (nomeado para o grupo de minerais de que é típico) tem doze caras pentagonais, dispostas no mesmo padrão das faces do dodecaedro regular. As faces da pyritohedron são, no entanto, não é regular, de modo que o pyritohedron também não é regular.

Circogonia icosahedra, uma espécie de Radiolaria, em forma de um icosaedro regular.

No início do século 20, Ernst Haeckel descrito (Haeckel, 1904) um número de espécies de Radiolaria, alguns de cujos esqueletos são em forma de vários poliedros regulares. Exemplos incluem Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus e Circorrhegma dodecahedra. As formas dessas criaturas deveria ser óbvio a partir de seus nomes.

Muitos vírus , tais como o vírus do herpes, tem a forma de um icosaedro normal. Estruturas virais são construídos de repetidas idênticas de proteína e subunidades do icosaedro é a forma mais fácil de montar usando estas subunidades. Um poliedro regular é usado, porque pode ser construído a partir de uma única proteína unidade básica utilizada uma e outra vez; isso economiza espaço no viral genoma.

Em meteorologia e climatologia, modelos numéricos globais de escoamento atmosférico são de interesse crescente que empregam grades que são baseados em um icosaedro (refinado por triangulação) em vez do mais comumente usadas / longitude latitude grid. Isto tem a vantagem de resolução espacial distribuído uniformemente sem singularidades (isto é, o pólos) à custa de um pouco maior dificuldade numérica.

Geometria da estruturas espaciais é muitas vezes baseada em sólidos platônicos. No sistema MERO, sólidos platônicos são usados para convenção de nomenclatura de várias configurações space frame. Por exemplo ½O + T refere-se a uma configuração feita de uma metade do octaedro e um tetraedro.

Sólidos platônicos são muitas vezes utilizados para fazer dados , porque dados destas formas podem ser feitas justo. Dice seis lados são muito comuns, mas os outros números são comumente usados em role-playing games. Tais dados são comumente referido como d n onde n é o número de faces (D8, D20, etc.); ver notação de dados para obter mais detalhes.

Dados poliédricos são freqüentemente usados em role-playing games.

Essas formas freqüentemente mostram-se em outros jogos ou quebra-cabeças. Puzzles semelhante a um cubo de Rubik vêm em todas as cinco formas - veja poliedros magia.

Poliedros e polytopes Relacionadas

Poliedros uniforme

Existem quatro poliedros regulares que não são convexas, chamado Kepler-Poinsot poliedros. Todas elas têm simetria icosaédrica e pode ser obtido na forma de constelações do dodecaedro eo icosaedro.

Cuboctahedron.svg
cuboctahedron
Icosidodecahedron.jpg
icosidodecaedro

A próxima poliedros convexos mais normal após os sólidos platônicos são o cuboctahedron, que é um rectificação do cubo e do octaedro, eo icosidodecaedro, que é uma rectificação do dodecaedro eo icosaedro (a retificação do tetraedro auto-dual é um octaedro regular). Estes são ambos significado quasi-regular que eles são vertex- e borda uniforme e têm rostos regulares, mas os rostos não são todos congruentes (vindo em duas classes diferentes). Eles formam dois dos treze Sólidos de Arquimedes, que são convexos poliedros uniformes com simetria poliédrico.

O poliedro uniforme formam uma classe muito maior de poliedros. Estes números são vértice-uniforme e ter um ou mais tipos de regular ou polígonos estrela para rostos. Estes incluem todos os poliedros mencionado acima, juntamente com um conjunto infinito de prismas, um conjunto infinito de antiprisms, e 53 outras formas não-convexas.

O Johnson sólidos são poliedros convexos que têm as caras regulares, mas não são uniformes.

Tessellations

Os três pavimentações regulares do plano estão intimamente relacionados com os sólidos platônicos. Na verdade, pode-se visualizar os sólidos platônicos como as cinco pavimentações regulares da esfera . Isto é feito por se projecta cada sólida para uma esfera concêntrica. Os rostos projetar em comum polígonos esféricas que cobrem exatamente a esfera. Pode-se mostrar que cada mosaico regular da esfera é caracterizada por um par de números inteiros {p, q} com um / p + 1 / Q> 1/2. Da mesma forma, um mosaico regular do plano se caracteriza a condição 1 / p + 1 / q = 1/2. Existem três possibilidades:

  • {4, 4} que um ladrilhos quadrado,
  • {3, 6} que é um telha triangular, e
  • {6, 3}, que é uma azulejos hexagonal (dual para a colocação de azulejos triangular).

De um modo semelhante pode-se considerar pavimentações regulares do plano hiperbólico. Estes são caracterizados a condição 1 / p + 1 / q <1/2. Existe um número infinito de tais pavimentações.

Dimensões superiores

Em mais de três dimensões, poliedros generalizar a polytopes, com convexa de dimensão superior politopos regulares, sendo os equivalentes dos sólidos platônicos tridimensionais.

Em meados do século 19, o matemático suíço Ludwig Schläfli descobriu os análogos de quatro dimensões dos sólidos platônicos, chamado convexo regular 4-polytopes. Há exatamente seis desses valores; cinco são análogos aos sólidos Platônicas, enquanto que o sexto, o 24-célula, tem nenhum análogo inferior-dimensional.

Em todas as dimensões maiores do que quatro, existem apenas três politopos regulares convexos: o simplex, o hipercúbica, eo cross-polytope. Em três dimensões, estas coincidam com o tetraedro, o cubo, e o octaedro.

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