Sistema de coordenadas polares

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Uma grade polar com vários ângulos marcado em graus

Em matemática , o sistema de coordenadas polares é um bidimensional em que cada sistema de coordenadas ponto sobre um plano é determinado por um ângulo e uma distância . O sistema de coordenadas polares é especialmente útil em situações em que a relação entre dois pontos é mais facilmente expressos em termos de ângulos e distância; no mais familiarizados cartesiano ou retangular sistema de coordenadas, tal relação só pode ser encontrada através trigonométricas fórmulas.

Como o sistema de coordenadas é bidimensional, cada ponto é determinado por duas coordenadas polares: coordenar a radial e coordenar o angular. A coordenada radial (denotado geralmente como $r$ ) Indica a distância do ponto a partir de um ponto central conhecida como o pólo (equivalente à origem no sistema cartesiano). A coordenada angular (também conhecido como o ângulo polar ou o azimute, e geralmente denotado por θ ou $t$ ) Indica a positivo ou a esquerda (sentido anti-horário) ângulo necessário para atingir o ponto a partir do 0 ° ray ou eixo polar (que é equivalente ao positivo do eixo x- em coordenadas cartesianas avião).

História

Os conceitos de ângulo e raio já foram usados por povos antigos do primeiro milênio AEC. O astrônomo Hiparco (190-120 aC) criou uma tabela de funções de acordes que dão o comprimento da corda para cada ângulo, e há referências a sua usando coordenadas polares no estabelecimento de posições estelares. Em Sobre espirais, de Arquimedes descreve a Espiral de Arquimedes, uma função cujo raio depende do ângulo. O trabalho grega, no entanto, não se estendeu a um sistema de coordenadas completo.

Existem várias contas da introdução de coordenadas polares, como parte de um sistema formal de coordenadas. A história completa do assunto é descrito em Professor de Harvard Origem de Julian Lowell Coolidge de Coordenadas Polares. Grégoire de Saint-Vincent e Bonaventura Cavalieri introduziu os conceitos de forma independente em meados do século XVII. Saint-Vincent escreveu sobre eles em particular em 1625 e publicou seu trabalho em 1647, quando publicou seu Cavalieri em 1635 com uma versão corrigida aparecendo em 1653. Cavalieri usou pela primeira vez coordenadas polares para resolver um problema relacionado com a área dentro de uma Espiral de Arquimedes. Blaise Pascal posteriormente utilizado coordenadas polares para calcular o comprimento de arcos parabólicos.

Em Método de Fluxions (escrito 1671, publicado 1736), Sir Isaac Newton analisou as transformações entre coordenadas polares, que ele se referiu como o "Sétimo Manner, pois Espirais", e nove outros sistemas de coordenadas. Na revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli utilizado um sistema com um ponto de uma linha, chamada o pólo e eixo polar, respectivamente. As coordenadas foram especificados pela distância entre o pólo e o ângulo do eixo polar. O trabalho de Bernoulli estendido para encontrar o raio de curvatura de curvas expressas nestas coordenadas.

O termo real coordenadas polares tem sido atribuída a Gregorio Fontana e foi usado por escritores italianos do século 18. O termo surgiu em Inglês em 1816 tradução de George Pavão de Lacroix de Cálculo Diferencial e Integral. Alexis Clairaut foi o primeiro a pensar em coordenadas polares em três dimensões, e Leonhard Euler foi o primeiro a desenvolvê-las realmente.

Plotar pontos com coordenadas polares

Os pontos (3,60 °) e 4210 (°) em um sistema de coordenadas polares

Cada ponto no sistema de coordenadas polares pode ser descrito com as duas coordenadas polares, os quais são normalmente chamados $r$ (Coordenada radial) e θ (a coordenada angular, ângulo polar, ou azimute, às vezes representado como φ ou $t$ ). O $r$ coordenada representa a distância radial a partir do pólo, e o θ coordenada representa o ângulo no sentido contrário (sentido anti-horário) do 0 ° raio (algumas vezes chamado o eixo polar), conhecido como o eixo x positivo sobre o plano de coordenadas cartesiano .

Por exemplo, as coordenadas polares (3, 60 °) seria plotados como um ponto de 3 unidades do pólo no 60 ° ray. As coordenadas (-3, 240 °) também ser registados a este ponto, porque uma distância radial negativo é medida como uma distância positiva no raio oposto (o raio reflectido sobre a origem, o que difere do raio original por 180 °).

Um aspecto importante do sistema de coordenadas polares, não está presente no sistema de coordenadas cartesianas, é que um único ponto pode ser expressa com um número infinito de coordenadas diferentes. Isto é porque qualquer número de rotações múltiplas podem ser feitos em torno do pólo central, sem afectar a localização real do ponto traçado. Em geral, o ponto ( $r$ , Θ) pode ser representado como ( $r$ , Θ ± $n$ × 360 °) ou (- $r$ , Θ ± (2 $n$ + 1) 180 °), onde $n$ é qualquer número inteiro .

As coordenadas arbitrárias (0, θ) são convencionalmente utilizados para representar o pólo, como independentemente da θ de coordenadas, com um ponto de raio 0 estará sempre no poste. Para obter uma representação de um único ponto, é usual para limitar $r$ para números não negativos $r$ ≥ 0 e θ para o intervalo de [0, 360 °) ou (180 °, 180 °] (ou, na medida em radianos, [0, 2π) ou (-π, π]).

Ângulos em notação polar são geralmente expressos em graus ou radianos , usando a conversão 2 π rad = 360 °. A escolha depende em grande parte do contexto. Aplicações de navegação utilizar a medida grau, enquanto alguns de física (mecânica aplicações especificamente rotacionais) e quase toda a literatura matemática no cálculo usar radianos.

Conversão entre coordenadas polares e cartesianas

Um diagrama que ilustra a relação entre as coordenadas cartesianas e polares.

As duas coordenadas polares $r$ e θ podem ser convertidos nas coordenadas cartesianas $x$ e $y$ usando a funções trigonométricas seno e cosseno:

$x = r \ cos \ theta \,$

$y = r \ sin \ theta, \,$

enquanto as duas coordenadas cartesianas $x$ e $y$ podem ser convertidos em coordenadas polares $r$ por

$r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \,$ (Por uma simples aplicação do Teorema de Pitágoras ).

Para determinar a coordenada angular θ, as duas idéias a seguir devem ser considerados:

Para $r$ = 0, θ pode ser ajustado para qualquer valor real .
Para $r$ ≠ 0, para conseguir uma representação única para θ, deve ser limitada a um intervalo de tamanho 2π. Escolhas convencionais para tal um intervalo de [0, 2π) e (-π, π].

Para obter θ no intervalo [0, 2π), pode ser utilizado o seguinte ( $\ Arctan$ indica o inverso da tangente função):

$\ Theta = \ begin {cases} \ arctan (\ frac {y} {x}) & \ mbox {if} x> 0 \ mbox {e} y \ ge 0 \\ \ arctan (\ frac {y} {x }) + 2 \ pi & \ mbox {if} x> 0 \ mbox {e} y <0 \\ \ arctan (\ frac {y} {x}) + \ pi & \ mbox {if} x <0 \ \ \ frac {\ pi} {2} & \ mbox {if} x = 0 \ mbox {e} y> 0 \\ \ frac {3 \ pi} {2} & \ mbox {if} x = 0 \ mbox {e} y <0 \ end {cases}$

Para obter θ no intervalo (-π, π], o seguinte pode ser usado:

$\ Theta = \ begin {cases} \ arctan (\ frac {y} {x}) & \ mbox {if} x> 0 \\ \ arctan (\ frac {y} {x}) + \ pi & \ mbox { if} x <0 \ mbox {e} y \ ge 0 \\ \ arctan (\ frac {y} {x}) - \ pi & \ mbox {if} x <0 \ mbox {e} y <0 \\ \ frac {\ pi} {2} & \ mbox {if} x = 0 \ mbox {e} y> 0 \\ - \ frac {\ pi} {2} & \ mbox {if} x = 0 \ mbox { e} y <0 \ end {cases}$

Pode-se evitar ter que manter o controle de o numerador eo denominador sinais pelo uso do atan2 função, que tem argumentos separados para o numerador eo denominador.

Equações polares

A equação que define uma curva algébrica expressa em coordenadas polares é conhecido como uma equação polar. Em muitos casos, tal equação pode ser simplesmente especificado pela definição $r$ como uma função de θ. A curva resultante, em seguida, consiste em pontos da forma ( $r$ (Θ), θ) e pode ser considerada como a gráfico da função polar $r$ .

Diferentes formas de simetria pode ser deduzida a partir da equação de uma função polar $r$ . Se $r$ (-θ) = $r$ (Θ) A curva é simétrica em relação à horizontal (0 ° / 180 °) ray, se $r$ (Π-θ) = $r$ (Θ), será simétrica em relação à vertical (90 ° / 270 °) ray, e se $r$ (Θ-α °) = $r$ (Θ) será ° α rotativamente simétricas sentido anti-horário sobre o pólo.

Por causa da natureza circular do sistema de coordenadas polares, muitas curvas pode ser descrito por uma equação polar bastante simples, enquanto que a sua forma cartesiana é muito mais complicado. Entre as mais conhecidas destas curvas são o Polar Rose, Espiral de Arquimedes, lemniscate, limaçon, e cardióide.

Para o círculo, linha e rosa polar abaixo, entende-se que não há restrições sobre o domínio ea gama da curva.

Círculo

Um círculo com a equação $r$ (Θ) = 1

A equação geral de um círculo com um centro em ( $r$ _0, φ) e raio $um$ é

$r ^ 2 - 2 r r_0 \ cos (\ theta - \ varphi). + r_0 ^ 2 = a ^ 2 \,$

Isto pode ser simplificado, de várias maneiras, em conformidade com os casos mais específicos, tais como a equação

$R (\ theta) = a \,$

para um círculo com um centro no pólo e raio $um$ .

Linha

Linhas radiais (aqueles que funcionam através do pólo) são representados pela equação

$\ Theta = \ varphi \,$ ,

onde φ é o ângulo de elevação da linha; isto é, φ = arctan $m$ onde $m$ é o inclinação da linha no sistema de coordenadas cartesiano. A linha não radial que atravessa a linha radial θ = φ perpendicularmente no ponto ( $r$ _0, φ) tem a equação

$R (\ theta) = {r_0} \ s (\ theta- \ varphi). \,$

Polar Rose

A Polar Rose com a equação $r$ (Θ) = 2 pecado 4θ

A Rose polar é uma curva matemática famosa que se parece com uma flor pétalas, e que pode ser expressa como uma equação polar simples,

$r (\ theta) = a \ cos (k \ theta + \ phi_0) \,$

para qualquer constante $\ Phi_0$ (Incluindo 0). Se k é um número inteiro, estas equações irá produzir um k -petalled rose se k é impar, ou a 2 k subiu -petalled se k é mesmo. Se k é racional, mas não um inteiro, uma forma de rosa como pode formar, mas com pétalas de sobreposição. Note-se que essas equações nunca definem uma rosa com 2, 6, 10, 14, etc. pétalas. O uma variável representa o comprimento das pétalas da rosa.

Espiral de Arquimedes

Um braço de uma espiral de Arquimedes com a equação r (θ) = θ para 0 <θ <6π

O Espiral de Arquimedes é um famoso espiral que foi descoberto por Arquimedes , que também pode ser expressa como uma equação polar simples. Ele é representado pela equação

$R (\ theta) = a + b \ teta. \,$

Alterando o parâmetro irá ligar a uma espiral, enquanto b controla a distância entre os braços, que para um determinado espiral é sempre constante. A espiral de Arquimedes tem dois braços, um para θ> 0 e um para θ <0. Os dois braços estão bem conectado no pólo. Tomando a imagem no espelho de um braço do outro lado da linha ° 90 ° / 270 produzirá o outro braço. Esta curva é notável como uma das primeiras curvas, depois das seções cônicas , a ser descrito em um tratado matemático, e como sendo um excelente exemplo de uma curva que é melhor definida por uma equação polar.

Cónicas

Ellipse, reto mostrando semi-latus

Uma secção cónica com um foco no poste e o outro no lugar 0 ° raio (de modo que o do cónica eixo maior fica ao longo do eixo polar) é dada por:

$r = {\ ell \ over {1 + e \ cos \ theta}}$

onde E é a e excentricidade $\ Ell$ é o recto semi-latus (a distância perpendicular a um foco do eixo maior para a curva). Se e> 1, esta equação define um hipérbole; se e = 1, que define um parábola; e se E <1, que define uma elipse . O caso especial e = 0 dos últimos resultados em um círculo de raio $\ Ell$ .

Os números complexos

Uma ilustração de um número complexo z representada no plano complexo

Uma ilustração de um número complexo representada no plano complexo usando A fórmula de Euler

Cada número complexo pode ser representado como um ponto no plano complexo , e pode, portanto, ser expressa especificando tanto as coordenadas do ponto cartesianas (chamados de forma retangular ou cartesiano) ou coordenadas polares do ponto (chamado de formulário polar). O número complexo z pode ser representado em forma rectangular, conforme

$z = x + iy \,$

onde i é a unidade imaginária , ou, alternativamente, pode ser escrito na forma polar (através de conversão das fórmulas indicadas acima ) como

$z = r \ cdot (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)$

e a partir daí como

$z = re ^ {i \ theta} \,$

em que e é Número de Euler, que são equivalentes, como mostrado pela A fórmula de Euler. (Note-se que esta fórmula, como todos aqueles envolvendo exponenciais de ângulos, assume que o ângulo θ é expressa em radianos.) Para converter-se entre as formas rectangulares e polares de um número complexo, as fórmulas de conversão dadas acima podem ser usados.

Para as operações de multiplicação , divisão , e exponenciação dos números complexos, é geralmente muito mais simples de trabalhar com números complexos expressas na forma polar em vez de forma rectangular. Das leis da exponenciação:

Multiplicação:

$r_0 e ^ {i \ theta_0} \ cdot r_1 e ^ {i \ theta_1} = r_0 r_1 e ^ {i (\ theta_0 + \ theta_1)} \,$

Divisão:

$\ Frac {r_0 e ^ {i \ theta_0}} {r_1 e ^ {i \ theta_1}} = \ frac {} {r_0 r_1} e ^ {i (\ theta_0 - \ theta_1)} \,$

Exponenciação ( A fórmula de De Moivre):

$(Re ^ {i \ theta}) ^ n = r ^ ne ^ {in \ theta} \,$

Cálculo

Cálculo pode ser aplicado às equações expressos em coordenadas polares.

O θ coordenada angular é expresso em radianos em toda esta seção, que é a escolha convencional ao fazer o cálculo.

Cálculo diferencial

Nós temos as seguintes fórmulas:

$r \ tfrac {\ partial} {\ r parcial = x} \ tfrac {\ partial} {\ x + y parcial} \ tfrac {\ partial} {\ y parcial} \,$

$\ Tfrac {\ partial} {\ \ theta} parcial = -y \ tfrac {\ partial} {\ x parcial} + x \ tfrac {\ partial} {\ y parcial}.$

Para encontrar a inclinação cartesiano da linha tangente a uma curva r polar (θ) em qualquer ponto, a curva é expressa pela primeira vez como um sistema de equações paramétricas.

$x = r (\ theta) \ cos \ theta \,$

$y = r (\ theta) \ sin \ theta \,$

Diferenciando ambas as equações com respeito aos rendimentos θ

$\ Frac {dx} {d \ theta} = r '(\ theta) \ cos \ theta-r (\ theta) \ sin \ theta \,$

$\ Frac {dy} {d \ theta} = r '(\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \,$

Dividindo a segunda equação pelos primeiros rendimentos a inclinação cartesiano da linha tangente à curva no ponto (R, R (θ)):

$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}$

Cálculo integral

A região de integração R é delimitada pela curva r (θ) e os raios θ = um e θ = b.

Seja R denotam a região delimitada por uma curva r (θ) e os raios θ = um e θ = b, onde 0 <b - a <2π. Então, a área de R é

$\ Frac12 \ int_a ^ b r (\ theta) ^ 2 \, d \ theta.$

A região R é aproximado por sectores n (aqui, n = 5).

Este resultado pode ser encontrado como se segue. Em primeiro lugar, o intervalo [a, b] é dividido em subintervalos n, onde n é um número inteiro positivo arbitrário. Assim Δθ, o comprimento de cada sub-intervalo, é igual a b - um (o comprimento total do intervalo), dividido por n, o número de sub-intervalos. Para cada subintervalo i = 1, 2, ..., n, deixar θ _i o ponto médio do sub-intervalo, e construir uma sector com o centro no pólo, raio r (θ _i), ângulo central Δθ e arco comprimento $r (\ theta_i) \ theta \ Delta \,$ . A área de cada sector construída é portanto igual a $\ Tfrac12r (\ theta_i) ^ 2 \ Delta \ theta$ . Assim, a área total de todos os sectores é

$\ Sum_ {i = 1} ^ n \ tfrac12r (\ theta_i) ^ 2 \, \ Delta \ theta.$

À medida que o número de subintervalos N é aumentada, a aproximação da área continua para melhorar. No limite como n → ∞, a soma torna-se o Riemann soma do integral acima.

Generalização

Utilizando as coordenadas cartesianas , um elemento área infinitesimal pode ser calculado como dA = dx dy. O regra de substituição para integrais múltiplas afirma que, ao usar outras coordenadas, os Determinante Jacobiana da fórmula de conversão de coordenadas tem de ser considerado:

$J = \ det \ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ theta)} = \ begin {vmatrix} \ frac {\ x parcial} {\ r & parcial} \ frac {\ x parcial } {\ partial \ theta} \\ \ frac {\ y parcial} {\ r & parcial} \ frac {\ y parcial} {\ \ theta} parcial \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ cos \ theta & r \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {vmatrix} = r \ cos ^ 2 \ theta + pecado ^ 2 \ theta r \ = r.$

Assim, a área de um elemento em coordenadas polares pode ser escrito como

$dA = J \, dr \, d \ theta = r \, dr \, d \ theta.$

Agora, uma função que é dada em coordenadas polares pode ser integrado como se segue:

$\ Iint_R f (r, \ theta) \, dA = \ int_a ^ b \ int_0 ^ {r (\ theta)} f (r, \ theta) \, r \, dr \, d \ theta.$

Aqui, R é a mesma região que acima, ou seja, a região delimitada por uma curva r (θ) e os raios e um θ = θ = b.

A fórmula para a área de R mencionado acima é obtido tomando f identicamente igual a 1. Uma aplicação mais surpreendente deste resultado produz o Gaussian integrante

$\ Int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx = \ sqrt \ pi.$

Cálculo vetorial

Vector cálculo também pode ser aplicado para coordenadas polares. Deixar $\ Mathbf {r}$ ser o vector de posição $(R \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta)) \,$ , Com R e $\ Theta$ dependendo do tempo t, $\ Hat {\ mathbf {r}}$ ser um vector unitário na direcção $\ Mathbf {r}$ e $\ Hat {\ boldsymbol \ theta}$ ser um vector unitário perpendicularmente ao $\ Mathbf {r}$ . As primeira e segunda derivadas de posição são

$\ Frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ dot r \ hat {\ mathbf {r}} + r \ dot \ theta \ hat {\ boldsymbol \ theta},$

$\ Frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} = (\ ddot r - r \ dot \ theta ^ 2) \ hat {\ mathbf {r}} + (r \ ddot \ theta + 2 \ dot r \ dot \ theta) \ hat {\ boldsymbol \ theta}.$

Três dimensões

O sistema de coordenadas polares é estendido em três dimensões com dois diferentes sistemas de coordenadas, o cilíndrico e sistemas de coordenadas esféricas, os quais incluem duas dimensões coordenadas polares ou planar como um subconjunto. Em essência, coordenar o sistema cilíndrico estende coordenadas polares pela adição de coordenar uma distância adicional, enquanto o sistema esférico em vez acrescenta um adicional de coordenar angular.

Coordenadas cilíndricas

Um ponto traçado com coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema de coordenadas que, essencialmente, se estende o sistema de coordenadas polares bidimensional pela adição de uma terceira coordenada medindo a altura de um ponto acima do plano, semelhante à maneira pela qual o sistema de coordenadas cartesianas é alargada em três dimensões. A terceira coordenada é geralmente denotada h, fazendo com que as três coordenadas cilíndricas (r, θ, h).

Os três coordenadas cilíndricas podem ser convertidos em coordenadas cartesianas mediante

$\ Begin {align} x & = r \, \ cos \ theta \\ & y = r \, \ sin \ theta \\ z & = h. \ End {align}$

Coordenadas esféricas

Um ponto traçado usando coordenadas esféricas

As coordenadas polares também podem ser estendidos em três dimensões utilizando as coordenadas (ρ, φ, θ), onde ρ é a distância a partir da origem, φ é o ângulo do eixo z (chamado o colatitude ou zénite e medido de 0 a 180 °) e θ é o ângulo a partir do eixo x (como nas coordenadas polares). Este sistema de coordenadas, o chamado sistema de coordenadas esférica, é semelhante à latitude e sistema de longitude utilizado para a terra, com origem no centro da Terra, o δ latitude sendo o complemento de φ, determinada por δ = 90 ° - φ, e a longitude L sendo medido por L = θ - 180 °.

Os três coordenadas esféricas são convertidas em coordenadas cartesianas mediante

$\ Begin {align} x & = \ rho \, \ sin \ phi \, \ cos \ theta \\ y & = \ rho \, \ sin \ phi \, \ sin \ theta \\ z & = \ rho \, \ cos \ phi. \ End {align}$

Aplicações

As coordenadas polares são bidimensionais e, portanto, eles podem ser usados apenas em posições de ponto encontram-se em um único plano bidimensional. Eles são mais apropriada em qualquer contexto em que o fenômeno a ser considerado é inerentemente vinculado a direção eo comprimento a partir de um ponto central. Por exemplo, os exemplos acima mostram como equações polares elementares suficientes para definir curvas - como a espiral de Arquimedes - cuja equação em coordenadas cartesianas sistema seria muito mais complicado. Além disso, muitos sistemas físicos - tais como aqueles preocupados com corpos em movimento em torno de um ponto central ou com fenômenos originários de um ponto central - são mais simples e mais intuitiva de modelar utilizando coordenadas polares. A motivação inicial para a introdução do sistema polar foi o estudo de circular e movimento orbital.

Posição e de navegação

As coordenadas polares são usados frequentemente em navegação, tal como o destino ou a direcção de viagem pode ser dado como um ângulo e distância do objecto a ser considerada. Por exemplo, aviões usar uma versão ligeiramente modificada das coordenadas polares para a navegação. Neste sistema, a geralmente utilizada para qualquer tipo de navegação, a 0 ° raio é geralmente chamado de posição 360, e os ângulos continuarão numa direcção dos ponteiros do relógio, em vez de para a esquerda, como no sistema de equações matemáticas. Rubrica 360 corresponde a o norte magnético, enquanto posições 90, 180, e 270 correspondem a leste magnético, sul e oeste, respectivamente. Assim, uma aeronave viajar 5 milhas marítimas, para leste, estará viajando 5 unidades na posição 90 (leia niner de zero por controle de tráfego aéreo).

Modelagem

Sistemas exibindo simetria radial proporcionar ambientes naturais para o sistema de coordenadas polares, com a atuação ponto central como o pólo. Um exemplo disso é o uso equação de escoamento de águas subterrâneas quando aplicado a poços radialmente simétricas. Sistemas com um força radial são também bons candidatos para a utilização do sistema de coordenadas polares. Esses sistemas incluem campos gravitacionais , que obedecem a lei do inverso do quadrado, bem como sistemas com fontes pontuais, tais como antenas de rádio.

Radialmente sistemas assimétricos também podem ser modeladas com coordenadas polares. Por exemplo, uma O microfone do padrão de captação ilustra a sua resposta proporcional a um som de entrada a partir de uma determinada direcção, e estes padrões podem ser representados como curvas polares. A curva para um microfone cardióide padrão, o microfone unidireccional mais comum, pode ser representada como se r = 0,5 + 0,5 pecado θ.

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