
Equação quadrática
Informações de fundo
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Em matemática , uma equação quadrática é um polinômio equação do segundo grau. A forma geral é
onde a ≠ 0. (para a = 0, a equação torna-se uma equação linear .)
As letras a, b, e c são chamados coeficientes: o coeficiente quadrático a é o coeficiente de , O coeficiente linear b é o coeficiente de x, e c é a coeficiente constante, também chamado de o termo livre ou termo constante.
Equações de segundo grau são chamados quadrática porque quadrado é Latin para "quadrado"; no prazo levando a variável é quadrado.


Fórmula quadrática
A equação quadrática com reais ou complexos coeficientes tem duas soluções (não necessariamente distintas), chamados raÃzes, que pode ser real ou complexo, dada pela fórmula quadrática:
onde o sÃmbolo "±" indica que tanto
e
são soluções.
Simplificando, ± 'mais ou menos' meios como possibilidades de equação.
Discriminante


■ <0: x 2 + 1/2
■ = 0: - 4/3 x 2 + 4/3 x - 1/3
■> 0: 3/2 x 2 + 1/2 x - 03/04
Na fórmula acima, a expressão sob o sinal de raiz quadrada:
chama-se a discriminante da equação quadrática.
A equação quadrática com coeficientes reais podem dispor de uma ou duas raÃzes reais distintas, ou duas raÃzes complexas distintas. Neste caso, o discriminante determina o número e natureza das raÃzes. Há três casos:
- Se o discriminante é positivo, há duas raÃzes distintas, sendo que ambos são números reais. Para equações quadráticas com inteiros coeficientes, se o discriminante é uma quadrado perfeito, então as raÃzes são números racionais -em outros casos, eles podem ser irracionais quadráticas.
- Se o discriminante é zero, há exatamente uma raiz distinta, e que a raiz é um número real . Às vezes chamada de raiz dupla, o seu valor é:
- Se o discriminante é negativo, não há raÃzes reais. Em vez disso, existem duas (não real) distintos complexos raÃzes, que são Os conjugados complexos de si:
Assim, as raÃzes são distintos se e apenas se o discriminante é diferente de zero, e as raÃzes são verdadeiro se e só se o discriminante é não-negativo.
Geometria

f (x) = x 2 - - x 2 = (x + 1) (X - 2) de um verdadeiro variável X, o x - coordenadas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x, x = 1 e x = 2, são o raÃzes da equação quadrática: 2 x - x - 2 = 0.
As raÃzes da equação quadrática
são também o zeros da função quadrática:
uma vez que são os valores de x para o qual
Se a, b, e c são números reais , e o domÃnio de f é o conjunto dos números reais, então os zeros de f são exatamente os x - coordenadas dos pontos onde o gráfico toca o eixo x.
Decorre do exposto que, se o discriminante é positivo, o gráfico toca o eixo x em dois pontos, se zero, os toques do gráfico em um ponto, e se for negativo, o gráfico não toca o eixo x.
Fatoração quadrática
O termo
é um fator do polinômio
Se e só se R é um raiz da equação quadrática
Segue-se a partir da fórmula quadrática que
No caso especial onde a quadrática tem apenas uma raiz diferente (ou seja, o discriminante é zero), o polinomial quadrático pode ser contabilizado como
Aplicativo para equações de grau superior
Certos equações de grau superior pode ser trazido para a forma quadrática e resolvido dessa forma. Por exemplo, a equação sexto grau em x:
pode ser reescrita como:
ou, de forma equivalente, como uma equação quadrática em uma nova variável u:
onde
Resolver a equação quadrática para u resultados nas duas soluções:
Assim
Concentrando-se em encontrar as três raÃzes cúbicas de
- As outras três soluções para x será o seu conjugados complexos - reescrevendo o lado direito com A fórmula de Euler:
(E desde 2 k π i = 1), dá as três soluções:
Usando fórmula Eulers 'novamente juntamente com identidades trigonométricas, como cos (π / 12) =
, E adicionando os complexos conjugados, dá a coleção completa de soluções como:
e
História
Os babilônios, tão cedo quanto 1800 BC (exibido em Old babilônico tabuletas de argila) poderia resolver um par de equações simultâneas da forma:
que são equivalentes à equação:
A par original de equações foram resolvidos da seguinte forma:
- Forma
- Forma
- Forma
- Forma
- Encontrar
por inspecção dos valores em (1) e (4).
No Sulba Sutras em Ã?ndia antiga circa Século 8 AEC equações da forma ax 2 = c e ax 2 + bx = c foram exploradas usando métodos geométricos. Matemáticos babilônios por volta de 400 BCE e Matemáticos chineses de cerca de 200 BCE utilizou o método de completar o quadrado para resolver equações de segundo grau com raÃzes positivas, mas não têm uma fórmula geral. Euclides , o matemático grego, produziu um método geométrico mais abstrata em torno de 300 BCE.
Em 628 dC, Brahmagupta deu a primeira solução explÃcita (embora ainda não completamente geral) da equação quadrática:
" | Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente da] quadrado, adicionar o quadrado do [coeficiente da] médio prazo; a raiz quadrada da mesma, menos do [coeficiente do] médio prazo, sendo dividido por duas vezes o [do coeficiente] é o valor do quadrado. (Brahmasphutasiddhanta (tradução Colebrook, 1817, página 346) | " |
Isto é equivalente a:
O Bakhshali Manuscrito datado de ter sido escrito na Ã?ndia no século 7 dC continha uma fórmula algébrica para resolver equações de segundo grau, bem como quadrática equações indeterminadas (originalmente do tipo ax / c = y). Mohammad bin Musa Al-kwarismi ( Pérsia , do século 9 ) desenvolveu um conjunto de fórmulas que funcionaram para soluções positivas. Seu trabalho foi baseado em Brahmagupta. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (também conhecido pela Latin nome Savasorda) introduziu a solução completa para a Europa no seu livro Liber embadorum no século 12 . Bhaskara II ( 1114- 1185), um indiano matemático - astrônomo, deu a primeira solução geral para a equação quadrática com duas raÃzes.
A escrita do matemático chinês Yang Hui ( 1238- 1298 AD) representa o primeiro em que equações de segundo grau com coeficientes negativos de 'x' aparecer, embora ele atribui isso ao anterior Liu Yi.
Derivação
A fórmula quadrática pode ser obtida pelo método de completar o quadrado, de modo a fazer uso da identidade algébrica:
Dividindo a equação quadrática
por um (o que é permitido, porque a é diferente de zero), dá:
ou
A equação quadrática está agora em uma forma em que o método de completar o quadrado pode ser aplicada. Para "completar o quadrado" é encontrar alguma constante k tal que
por outro y constante. Para que estas equações para ser verdade,
ou
e
assim
Ao aumentar essa constante para a equação (1) produz
O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito porque
O lado direito pode ser escrita como uma única fracção, com denominador comum 4 a 2. Isto dá
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados rendimentos
Isolando x, dá
Fórmula Alternativa
Em algumas situações, é preferÃvel expressar as raÃzes de uma forma alternativa.
Esta alternativa requer c para ser diferente de zero; para, se c é zero, a fórmula dá corretamente zero como uma raiz, mas não consegue dar qualquer segundo raiz, diferente de zero. Em vez disso, uma das duas opções para ∓ produz um divisão por zero, o que é indefinido.
As raÃzes são as mesmas, independentemente de qual expressão que usamos; a forma alternativa é meramente uma variação algébrica do formulário comum:
A fórmula alternativa pode reduzir a perda de precisão na avaliação numérica das raÃzes, o qual pode ser um problema se uma das raÃzes é muito menor do que o outro em magnitude absoluta. O problema de c, possivelmente, ser zero pode ser evitado pelo uso de uma abordagem mista:
Aqui indica a sgn assinar função.
Implementação de ponto flutuante
Uma cuidadosa implementação de ponto flutuante computador difere um pouco de ambas as formas de produzir um resultado robusto. Assumindo que o discriminante, b 2 -4 ac, é positivo e b é diferente de zero, o código será algo como o seguinte.
Aqui sgn (b) é o função de sinal, em que SGN (b) é 1 se b é positivo e -1, se b é negativo; sua utilização assegura que as quantidades adicionadas são do mesmo sinal, evitando cancelamento catastrófico. O cálculo de R 2 utiliza o fato de que o produto das raÃzes é C / A.
Fórmulas de Viète
Fórmulas de Viète dar uma relação simples entre as raÃzes de um polinômio e seus coeficientes. No caso do polinômio quadrático, eles tomam a seguinte forma:
e
A primeira fórmula acima gera uma expressão adequada quando se representa graficamente uma função quadrática. Uma vez que o gráfico é simétrico em relação a uma linha vertical que passa pelo vértice, quando existem duas raÃzes reais do vértice coordenada x situa-se na média das raÃzes (ou intercepta). Assim, a coordenada x do vértice é dado pela expressão:
A coordenada y pode ser obtido substituindo o resultado acima na equação quadrática dada, dando
Generalizações
A fórmula e a sua derivação permanecer correcta, se os coeficientes a, b e c são números complexos , ou mais geralmente, de qualquer membros campo cujo caracterÃstica não é 2. (Em um campo de caracterÃstica 2, o elemento 2 a é zero e é impossÃvel a dividir por ele.)
O sÃmbolo
na fórmula deve ser entendido como "um dos dois elementos é quadrada cujas
se existem tais elementos. Em alguns campos, alguns elementos não têm raÃzes quadradas e alguns têm dois; única zero tem apenas uma raiz quadrada, exceto nos campos de caracterÃstica 2. Note que, mesmo que um campo não contém uma raiz quadrada de um número, há sempre uma quadrática campo de extensão que faz, então a fórmula quadrática fará sempre sentido como uma fórmula em que campo de extensão.
CaracterÃstica 2
Num campo de caracterÃstica 2, a fórmula quadrática, que se baseia em ser um 2 unidade, não se sustenta. Considere o polinomial quadrática monic
ao longo de um campo de caracterÃstica 2. Se b = 0, então a solução reduz a extracção de uma raiz quadrada, de modo que a solução é
e note que há apenas uma raiz desde
Em suma,
Ver resÃduo quadrático para obter mais informações sobre como extrair raÃzes quadradas em campos finitos.
No caso em que b ≠ 0, existem duas raÃzes distintas, mas se o polinómio é irredutÃvel, eles não podem ser expressas em termos de raÃzes quadradas de números no domÃnio de coeficientes. Em vez disso, definir o R2-raiz (c) de c para ser uma raiz do polinomial x2 + x + c, um elemento do corpo de decomposição desse polinômio. Verifica-se que R (c) + 1 é também uma raiz. Em termos de operação de 2 de raiz, as duas raÃzes da (não-monic) machado quadrática 2 + bx + c são
e
Por exemplo, deixar que um denotam um gerador do grupo multiplicativo de unidades de F 4, o Campo de Galois de fim de quatro (e, portanto, um a + 1 são raÃzes de x2 + x + 1 mais de F 4). Porque (a + 1) 2 = A, A + 1 é a única solução da equação quadrática x 2 + a = 0. Por outro lado, o polinómio x + ax + 1 é irredutÃvel sobre F 4, mas divide sobre F 16, onde tem duas raÃzes AB e AB + a, onde b é a raiz de x 2 + x + um em F 16.
Este é um caso especial de Teoria Artin-Schreier.
Livro
Védicos Matemática: Dezesseis Simples Fórmulas Matemáticas dos Vedas, por Swami Sankaracarya (1884-1960), Motilal Banarsidass Indological Editores e Livreiros, Varnasi, �ndia, 1965; reimpresso em Delhi, �ndia, 1975, 1978. 367 páginas.