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Equação quadrática

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Informações de fundo

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Em matemática , uma equação quadrática é um polinômio equação do segundo grau. A forma geral é

ax ^ 2 + bx + c = 0, \, \!

onde a ≠ 0. (para a = 0, a equação torna-se uma equação linear .)

As letras a, b, e c são chamados coeficientes: o coeficiente quadrático a é o coeficiente de x ^ 2 , O coeficiente linear b é o coeficiente de x, e c é a coeficiente constante, também chamado de o termo livre ou termo constante.

Equações de segundo grau são chamados quadrática porque quadrado é Latin para "quadrado"; no prazo levando a variável é quadrado.

A parcela de reais -valued função quadrática ax 2 + bx + c, variando cada coeficiente separadamente

Fórmula quadrática

A equação quadrática com reais ou complexos coeficientes tem duas soluções (não necessariamente distintas), chamados raízes, que pode ser real ou complexo, dada pela fórmula quadrática:

x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {} 2a,

onde o símbolo "±" indica que tanto

x_ + = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} e \ X_- = \ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}

são soluções.

Simplificando, ± 'mais ou menos' meios como possibilidades de equação.

Discriminante

Sinais exemplo discriminantes
<0: x 2 + 1/2
= 0: - 4/3 x 2 + 4/3 x - 1/3
■> 0: 3/2 x 2 + 1/2 x - 03/04

Na fórmula acima, a expressão sob o sinal de raiz quadrada:

\ Delta = b ^ 2 - 4ac, \, \!

chama-se a discriminante da equação quadrática.


A equação quadrática com coeficientes reais podem dispor de uma ou duas raízes reais distintas, ou duas raízes complexas distintas. Neste caso, o discriminante determina o número e natureza das raízes. Há três casos:

  • Se o discriminante é positivo, há duas raízes distintas, sendo que ambos são números reais. Para equações quadráticas com inteiros coeficientes, se o discriminante é uma quadrado perfeito, então as raízes são números racionais -em outros casos, eles podem ser irracionais quadráticas.
  • Se o discriminante é zero, há exatamente uma raiz distinta, e que a raiz é um número real . Às vezes chamada de raiz dupla, o seu valor é:
    x = - \ frac {b} {} 2a. \, \!
  • Se o discriminante é negativo, não há raízes reais. Em vez disso, existem duas (não real) distintos complexos raízes, que são Os conjugados complexos de si:
    \ Begin {align} x & = \ frac {-b} {} 2a + i \ frac {\ sqrt {4ac - b ^ 2}} {} 2a, \\ x & = \ frac {-b} {2a} - i \ frac {\ sqrt {4ac - b ^ 2}} {} 2a, \\ i & ^ 2 = -1. \ End {align}

Assim, as raízes são distintos se e apenas se o discriminante é diferente de zero, e as raízes são verdadeiro se e só se o discriminante é não-negativo.

Geometria

Para o função quadrática:
f (x) = x 2 - - x 2 = (x + 1) (X - 2) de um verdadeiro variável X, o x - coordenadas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo x, x = 1 e x = 2, são o raízes da equação quadrática: 2 x - x - 2 = 0.

As raízes da equação quadrática

ax ^ 2 + bx + c = 0, \,

são também o zeros da função quadrática:

f (x) = ax ^ 2 + bx + c, \,

uma vez que são os valores de x para o qual

f (x) = 0. \,

Se a, b, e c são números reais , e o domínio de f é o conjunto dos números reais, então os zeros de f são exatamente os x - coordenadas dos pontos onde o gráfico toca o eixo x.

Decorre do exposto que, se o discriminante é positivo, o gráfico toca o eixo x em dois pontos, se zero, os toques do gráfico em um ponto, e se for negativo, o gráfico não toca o eixo x.

Fatoração quadrática

O termo

x - r \,

é um fator do polinômio

ax ^ 2 + bx + c, \

Se e só se R é um raiz da equação quadrática

ax ^ 2 + bx + c = 0. \

Segue-se a partir da fórmula quadrática que

ax ^ 2 + bx + c = a \ left (x - \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ right) \ left (x - \ frac {-b - \ sqrt { b ^ 2-4ac}} {2a} \ right).

No caso especial onde a quadrática tem apenas uma raiz diferente (ou seja, o discriminante é zero), o polinomial quadrático pode ser contabilizado como

ax ^ 2 + bx + c = a \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2. \, \!

Aplicativo para equações de grau superior

Certos equações de grau superior pode ser trazido para a forma quadrática e resolvido dessa forma. Por exemplo, a equação sexto grau em x:

x ^ 6 - 4x ^ 3 + 8 = 0 \,

pode ser reescrita como:

(X ^ 3) ^ 2 - 4 (x ^ 3) + 8 = 0 \ ,,

ou, de forma equivalente, como uma equação quadrática em uma nova variável u:

u ^ 2 - 4u + 8 = 0, \,

onde

u = x ^ 3. \,

Resolver a equação quadrática para u resultados nas duas soluções:

u = 2 \ horas 2i.

Assim

x ^ 3 = 2 \ pm 2i \ ,.

Concentrando-se em encontrar as três raízes cúbicas de

- As outras três soluções para x será o seu conjugados complexos - reescrevendo o lado direito com A fórmula de Euler:

x ^ 3 = 2 ^ {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ tfrac {1} {4} \ i pi} = 2 ^ {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ tfrac { 8k + 1} {4} \ pi i} \,

(E desde 2 k π i = 1), dá as três soluções:

x = 2 ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {\ tfrac {8k + 1} {12} \ pi i} \ ,, ~ k = 0, 1, 2 \ ,.

Usando fórmula Eulers 'novamente juntamente com identidades trigonométricas, como cos (π / 12) =

, E adicionando os complexos conjugados, dá a coleção completa de soluções como:

x_ {1,2} = -1 \ pm i, \,
x_ {3,4} = \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 - \ sqrt {3}} {2} i \,

e

x_ {5,6} = \ frac. {1 - \ sqrt {3}} {2} \ pm \ frac {1 + \ sqrt {3}} {2} i \,

História

Os babilônios, tão cedo quanto 1800 BC (exibido em Old babilônico tabuletas de argila) poderia resolver um par de equações simultâneas da forma:

x + y = p, \ \ xy = q \

que são equivalentes à equação:

\ X ^ 2 + q = px

A par original de equações foram resolvidos da seguinte forma:

  1. Forma \ Frac {x + y} {2}
  2. Forma \ Left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2
  3. Forma \ Left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2 - xy
  4. Forma \ Sqrt {\ left (\ frac {x + y} {2} \ right) ^ 2 - xy} = \ frac {xy} {2}
  5. Encontrar X, \ y por inspecção dos valores em (1) e (4).

No Sulba Sutras em ?ndia antiga circa Século 8 AEC equações da forma ax 2 = c e ax 2 + bx = c foram exploradas usando métodos geométricos. Matemáticos babilônios por volta de 400 BCE e Matemáticos chineses de cerca de 200 BCE utilizou o método de completar o quadrado para resolver equações de segundo grau com raízes positivas, mas não têm uma fórmula geral. Euclides , o matemático grego, produziu um método geométrico mais abstrata em torno de 300 BCE.

Em 628 dC, Brahmagupta deu a primeira solução explícita (embora ainda não completamente geral) da equação quadrática:

\ Ax ^ 2 + bx = c
" Para o número absoluto multiplicado por quatro vezes o [coeficiente da] quadrado, adicionar o quadrado do [coeficiente da] médio prazo; a raiz quadrada da mesma, menos do [coeficiente do] médio prazo, sendo dividido por duas vezes o [do coeficiente] é o valor do quadrado. (Brahmasphutasiddhanta (tradução Colebrook, 1817, página 346) "

Isto é equivalente a:

x = \ frac {\ sqrt {4ac + b ^ 2}} {-b 2a}.

O Bakhshali Manuscrito datado de ter sido escrito na ?ndia no século 7 dC continha uma fórmula algébrica para resolver equações de segundo grau, bem como quadrática equações indeterminadas (originalmente do tipo ax / c = y). Mohammad bin Musa Al-kwarismi ( Pérsia , do século 9 ) desenvolveu um conjunto de fórmulas que funcionaram para soluções positivas. Seu trabalho foi baseado em Brahmagupta. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (também conhecido pela Latin nome Savasorda) introduziu a solução completa para a Europa no seu livro Liber embadorum no século 12 . Bhaskara II ( 1114- 1185), um indiano matemático - astrônomo, deu a primeira solução geral para a equação quadrática com duas raízes.

A escrita do matemático chinês Yang Hui ( 1238- 1298 AD) representa o primeiro em que equações de segundo grau com coeficientes negativos de 'x' aparecer, embora ele atribui isso ao anterior Liu Yi.

Derivação

A fórmula quadrática pode ser obtida pelo método de completar o quadrado, de modo a fazer uso da identidade algébrica:

x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = (x + y) ^ 2. \, \!

Dividindo a equação quadrática

ax ^ 2 + bx + c = 0 \, \!

por um (o que é permitido, porque a é diferente de zero), dá:

x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0, \, \!

ou

x ^ 2 + \ frac {b} {a} x = - \ frac {c} {a} \ qquad (1)

A equação quadrática está agora em uma forma em que o método de completar o quadrado pode ser aplicada. Para "completar o quadrado" é encontrar alguma constante k tal que

x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + k = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2, \, \!

por outro y constante. Para que estas equações para ser verdade,

\ Frac {b} {a} = 2y \!

ou

y = \ frac {b} {2a} \, \!

e

k = y ^ 2, \, \!

assim

k = \ frac {b ^ 2} {4-A ^ 2}. \, \!

Ao aumentar essa constante para a equação (1) produz

x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4-A ^ 2} = - \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4-A ^ 2} \. , \!

O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito porque

x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4-A ^ 2} = \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2

O lado direito pode ser escrita como uma única fracção, com denominador comum 4 a 2. Isto dá

\ Left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4-A ^ 2}.

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados rendimentos

\ Left | x + \ frac {b} {2a} \ right | = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {| 2a |} \ Rightarrow x + \ frac {b} {2a} = \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {} 2a.

Isolando x,

x = - \ frac {b} {2a} \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {2a} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} { 2a}.

Fórmula Alternativa

Em algumas situações, é preferível expressar as raízes de uma forma alternativa.

x = \ frac {} {2c - b \ mp \ sqrt {b ^ 2-4ac \}}.

Esta alternativa requer c para ser diferente de zero; para, se c é zero, a fórmula dá corretamente zero como uma raiz, mas não consegue dar qualquer segundo raiz, diferente de zero. Em vez disso, uma das duas opções para ∓ produz um divisão por zero, o que é indefinido.

As raízes são as mesmas, independentemente de qual expressão que usamos; a forma alternativa é meramente uma variação algébrica do formulário comum:

\ Begin {align} \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {2a} e {} = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {2a} \ cdot \ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {- b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} \\ & {} = \ frac {} {4ac 2a \ left (- b - \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ right)} \\ & {} = \ frac {} {2c - b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \}}. \ End {align}

A fórmula alternativa pode reduzir a perda de precisão na avaliação numérica das raízes, o qual pode ser um problema se uma das raízes é muito menor do que o outro em magnitude absoluta. O problema de c, possivelmente, ser zero pode ser evitado pelo uso de uma abordagem mista:

x_1 = \ frac {-b - \ sgn b \, \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {} 2a,
x_2 = \ frac {c}} {ax_1.

Aqui indica a sgn assinar função.

Implementação de ponto flutuante

Uma cuidadosa implementação de ponto flutuante computador difere um pouco de ambas as formas de produzir um resultado robusto. Assumindo que o discriminante, b 2 -4 ac, é positivo e b é diferente de zero, o código será algo como o seguinte.

t: = - \ tfrac12 \ grande (b + \ sgn (b) \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ grande) \, \!
r_ {1}: = t / a \, \!
r_ {2}: = c / t \, \!

Aqui sgn (b) é o função de sinal, em que SGN (b) é 1 se b é positivo e -1, se b é negativo; sua utilização assegura que as quantidades adicionadas são do mesmo sinal, evitando cancelamento catastrófico. O cálculo de R 2 utiliza o fato de que o produto das raízes é C / A.

Fórmulas de Viète

Fórmulas de Viète dar uma relação simples entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes. No caso do polinômio quadrático, eles tomam a seguinte forma:

x_ + + x_- = - \ frac {b} {a}

e

x_ + \ cdot x_- = \ frac {c} {a}.

A primeira fórmula acima gera uma expressão adequada quando se representa graficamente uma função quadrática. Uma vez que o gráfico é simétrico em relação a uma linha vertical que passa pelo vértice, quando existem duas raízes reais do vértice coordenada x situa-se na média das raízes (ou intercepta). Assim, a coordenada x do vértice é dado pela expressão:

x_V = \ frac {x_ + + x_-} {2} = - \ frac {b} {} 2a.

A coordenada y pode ser obtido substituindo o resultado acima na equação quadrática dada, dando

y_V = - \ frac {b ^ 2}} {4-A + c = - \ frac {b ^ 2 - 4ac} {} 4a.

Generalizações

A fórmula e a sua derivação permanecer correcta, se os coeficientes a, b e c são números complexos , ou mais geralmente, de qualquer membros campo cujo característica não é 2. (Em um campo de característica 2, o elemento 2 a é zero e é impossível a dividir por ele.)

O símbolo

\ Pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}

na fórmula deve ser entendido como "um dos dois elementos é quadrada cujas

b ^ 2-4ac, \,

se existem tais elementos. Em alguns campos, alguns elementos não têm raízes quadradas e alguns têm dois; única zero tem apenas uma raiz quadrada, exceto nos campos de característica 2. Note que, mesmo que um campo não contém uma raiz quadrada de um número, há sempre uma quadrática campo de extensão que faz, então a fórmula quadrática fará sempre sentido como uma fórmula em que campo de extensão.

Característica 2

Num campo de característica 2, a fórmula quadrática, que se baseia em ser um 2 unidade, não se sustenta. Considere o polinomial quadrática monic

\ Displaystyle x ^ {2} + bx + c

ao longo de um campo de característica 2. Se b = 0, então a solução reduz a extracção de uma raiz quadrada, de modo que a solução é

\ Displaystyle x = \ sqrt {c}

e note que há apenas uma raiz desde

\ Displaystyle - \ sqrt {c} = - \ sqrt {c} + 2 \ sqrt {c} = \ sqrt {c}.

Em suma,

\ Displaystyle x ^ {2} + c = (x + \ sqrt {c}) ^ {2}.

Ver resíduo quadrático para obter mais informações sobre como extrair raízes quadradas em campos finitos.

No caso em que b ≠ 0, existem duas raízes distintas, mas se o polinómio é irredutível, eles não podem ser expressas em termos de raízes quadradas de números no domínio de coeficientes. Em vez disso, definir o R2-raiz (c) de c para ser uma raiz do polinomial x2 + x + c, um elemento do corpo de decomposição desse polinômio. Verifica-se que R (c) + 1 é também uma raiz. Em termos de operação de 2 de raiz, as duas raízes da (não-monic) machado quadrática 2 + bx + c são

\ Frac {b}} {a R \ left (\ frac {ac} {b ^ 2} \ right)

e

\ Frac {b} {a} \ left (R \ left (\ frac {ac} {b ^ 2} \ right) 1 \ right).

Por exemplo, deixar que um denotam um gerador do grupo multiplicativo de unidades de F 4, o Campo de Galois de fim de quatro (e, portanto, um a + 1 são raízes de x2 + x + 1 mais de F 4). Porque (a + 1) 2 = A, A + 1 é a única solução da equação quadrática x 2 + a = 0. Por outro lado, o polinómio x + ax + 1 é irredutível sobre F 4, mas divide sobre F 16, onde tem duas raízes AB e AB + a, onde b é a raiz de x 2 + x + um em F 16.

Este é um caso especial de Teoria Artin-Schreier.

Livro

Védicos Matemática: Dezesseis Simples Fórmulas Matemáticas dos Vedas, por Swami Sankaracarya (1884-1960), Motilal Banarsidass Indological Editores e Livreiros, Varnasi, ?ndia, 1965; reimpresso em Delhi, ?ndia, 1975, 1978. 367 páginas.

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