Seqüência

Para outros sentidos desta palavra, consulte

Em matemática , uma sequência é uma lista ordenada de objetos (ou eventos). Como um set, ele contém os seus membros (também chamados de elementos ou termos), e o número de termos (possivelmente infinito) é chamada o comprimento da sequência. Ao contrário de um conjunto, ordenar as coisas, e os mesmos elementos exatos podem aparecer várias vezes em diferentes posições na seqüência.

Por exemplo, (C, R, Y) é uma sequência de letras que difere de (Y, C, R), como os elementos de ordenação. As sequências podem ser finito, como neste exemplo, ou infinita , tal como a sequência de todos mesmo positivos inteiros (2, 4, 6, ...).

Uma sequência infinita de números reais (em azul). Esta sequência não é nem aumentando, diminuindo ou, nem convergente. No entanto, é limitada.

Exemplos e notação

Existem vários e bastante diferentes noções de sequências em matemática, algumas das quais] ct um uma sequência é um recipiente de tamanho variável cujos elementos são organizados em uma ordem linear estrita. Ele suporta a inserção e remoção de elementos. Refinamento da Atacante Container, Padrão construtível Associated tipos Nada, excepto para aqueles de Adiante Container. Notação tipo XA que é um modelo de Sequência a, b Objeto do tipo XT O tipo de valor de X t Objeto do tipo T p, q Objeto do tipo X :: iterator n objeto de um tipo conversível para X :: size_type

Definições Se um é uma sequência, então p é um iterador válido em um se for um iterador válido (não singular) que é acessível a partir a.begin (). Se um é uma sequência, então [p, q) é um intervalo válido em um se p e q são iteradores válidos em um e se q é acessível a partir de p.

Expressões válidas não está coberto pelas notações introduzidas abaixo.

Uma sequência pode ser designado por (a _1, a _2, ...). Por brevidade, a notação (a _n) é também utilizada.

Uma definição mais formal de uma sequência finita com termos em uma S é definida uma função de {1, 2, ..., n} de S para algum n ≥ 0. Uma sequência infinita em S é uma função a partir de {1, 2, ...} (o conjunto de números naturais sem 0) a S.

Sequências podem também começar a partir de 0, de modo que o primeiro termo da sucessão é, então, um _0.

Uma sequência de um comprimento fixo-n também é chamado de n -tuple. Sequências finitas incluem a seqüência vazia () que não possui elementos.

Uma função de todos os números inteiros num conjunto, por vezes é chamada de uma sequência bi-infinito, uma vez que pode ser pensado como uma sequência indexados por inteiros negativos enxertadas em uma sequência indexados por inteiros positivos.

Tipos e propriedades de sequências

A subsequência de uma dada sequência é uma sequência de formada a partir da sequência dada por supressão de alguns dos elementos, sem perturbar as posições relativas dos elementos restantes.

Se os termos da sequência são um subconjunto de um conjunto ordenado, em seguida, uma sequência monotonamente crescente é aquele para o qual cada termo é maior do que ou igual à duração antes; se cada termo é estritamente maior do que aquele que o precede, a sequência é chamado estritamente monotonamente crescente. Uma sequência monotonamente decrescente é definida de modo semelhante. Qualquer seqüência cumprindo a monotonicity propriedade é chamada monótona ou monótona. Este é um caso especial da noção mais geral de função monótona.

Os termos não decrescente e não crescente são utilizados, a fim de evitar qualquer possível confusão com estritamente crescente e estritamente decrescente, respectivamente. Se os termos de uma sequência são números inteiros , em seguida, a sequência é uma sequência inteiro. Se os termos de uma sequência são polinômios , então a sequência é uma sequência polinomial.

Se S está dotado com uma topologia , então torna-se possível considerar a convergência de uma sequência infinita em S. Tais considerações envolvem o conceito do limite de uma seqüência.

Sequências em análise

Em análise , quando se fala sobre sequências, uma geralmente consideram seqüências do formulário

ou

ou seja, sequências infinitas de elementos indexados por números naturais .

Pode ser conveniente ter a sequência começa com um índice diferente de 1 ou 0. Por exemplo, a sequência definida por x _n = 1 / log (n) pode ser definido apenas para N ≥ 2. Quando se fala de tais sequências infinitas, é geralmente suficiente (e não muda muito para a maioria das considerações) para supor que os membros da sequência são definidas, pelo menos, para todos os índices suficientemente grande, isto é, maior do que algum dado N.)

O tipo mais elementar de sequências numéricas são queridos, ou seja, sequências de reais ou números complexos . Este tipo pode ser generalizado para as sequências de alguns elementos de espaço vectorial . Na análise, os espaços são muitas vezes considerados de vetores espaços funcionais. Mesmo em termos mais gerais, pode-se estudar sequências com elementos em alguns espaço topológico.

Série

A soma dos termos de uma sequência é um série. Mais precisamente, se (x _1, x _2, x _3, ...) é uma sequência, pode-se considerar a sequência de somas parciais (S _1, S _2, S _3, ...), com

Formalmente, este par de sequências compreende a série com os termos x _1, x _2, x _3, ..., que é designado como

Se a sequência de somas parciais é convergente, também se usa a notação soma infinita para seu limite. Para mais detalhes, consulte série.

Sequências infinitas em ciência da computação teórica

Seqüências infinitas dos dígitos (ou caracteres) extraídos de uma finito alfabeto são de particular interesse em ciência da computação teórica. Eles são, muitas vezes designado simplesmente por sequências (em oposição a finitos cordas). Sequências binárias infinitas, por exemplo, são seqüências infinitas dos bits (personagens tirados do alfabeto {0,1}). O conjunto C = {0, 1} ^∞ de todas as sequências binárias infinitas, é às vezes chamado de Espaço Cantor.

Uma seqüência binária infinita pode representar uma linguagem formal (um conjunto de cordas), definindo o enésimo bit da sequência de 1 se e somente se o n th string (em ordem shortlex) está no idioma. Por conseguinte, o estudo de classes de complexidade, que são conjuntos de línguas, pode ser considerado como estudar conjuntos de sequências infinitas.

Uma sequência infinita desenhada a partir do alfabeto {0, 1, ..., b-1} também pode representar um número real expresso na base-b sistema de numeração posicional. Esta equivalência é muitas vezes usado para trazer as técnicas de análise real para suportar sobre classes de complexidade.

Sequências como vectores

Sequências mais de um campo pode também ser visto como vectores num espaço vectorial . Especificamente, o conjunto de F -valued sequências (onde M é um campo) é um espaço funcional (na verdade, um espaço do produto) do F funções -valued sobre o conjunto dos números naturais.

Em particular, o termo seqüência espaço geralmente se refere a um subespaço linear do conjunto de todas as possíveis sequências de infinitos com elementos em == sequências Duplamente-infinitos == Normalmente, a sequência infinita termo refere-se a uma sequência que é infinito numa direcção, e finito no outro - a sequência tem um primeiro elemento, mas nenhum elemento final (uma sequência isoladamente-infinito). Uma seqüência duplamente infinito é infinito em ambas as direções - não tem nem um primeiro nem um elemento final. Seqüências individualmente-infinitos são funções dos números naturais (N ') para algum conjunto, enquanto que as sequências duplamente infinitas são funções dos inteiros (Z) para algum conjunto.

Pode-se interpretar sequências infinitas isoladamente como elemento da anel semigroup dos números naturais e sequências duplamente infinito como elementos da anel de grupo dos inteiros . Esta perspectiva é usado na Produto de Cauchy de sequências.

Sequência ordinal-indexado

Um Módulo: Order_topology ( falar · · hist · Links · subpages · testes - Resultados) é uma generalização de uma sequência. Se é um α limitar ordinal e X é um conjunto, uma sequência indexada-α de elementos de X é uma função de α para X. Neste terminologia uma sequência indexada-ω é uma seqüência comum.

Seqüências e autômatos

Autômatos ou máquinas de estados finitos pode pensado tipicamente de gráficos, conforme as instruções, com bordas marcadas usando algum alfabeto Σ específico. Tipos mais familiares de transição autômatos de estado para estado, lendo cartas de entrada de Σ, na sequência de arestas com etiquetas correspondentes; a entrada de pedidos para tal um autômato forma uma seqüência chamada uma palavra (ou palavra de entrada). A seqüência de estados encontradas pelo autômato ao processar uma palavra é chamado uma corrida. Um autômato não determinístico pode ter sem rótulo ou duplicar out-arestas para qualquer estado, dando mais de um sucessor para alguns carta entrada. Isto é tipicamente considerada como produção de várias execuções possíveis para uma determinada palavra, cada um sendo uma seqüência de estados individuais, em vez de produzir uma única corrida que é uma seqüência de conjuntos de estados; no entanto, 'run' é ocasionalmente usada para significar o último.