Esfera

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Uma esfera.

A esfera é um simétrico geométrico objeto. No uso não-matemática, o termo é usado para se referir tanto a uma rodada bola ou à sua bidimensional superfície. Em matemática , uma esfera é o conjunto de todos os pontos em espaço tridimensional ^(R3), que estão a uma distância r a partir de um ponto fixo do que o espaço, em que r é um número positivo número real chamado o raio da esfera. Assim, em três dimensões, uma esfera matemática é considerada uma superfície esférica bidimensional incorporado no espaço tridimensional, em vez do volume contido no seu interior (o qual, ao invés, matemáticos descrevem como um bola). O ponto fixo é chamado o centro ou centro, e não faz parte da própria esfera. O caso especial de R = 1 é chamado um esfera unitária.

Este artigo lida com o conceito matemático de uma esfera. Em física , uma esfera é um objecto (geralmente idealizado por uma questão de simplicidade) capaz de colidir com empilhamento ou outros objectos que ocupam espaço.

Equações em R ³

Na geometria analítica , uma esfera com centro (x _0, y _{0, 0} z) e do raio r é a lócus de todos os pontos (x, y, z) de tal modo que

$(X - x_0) ^ 2 + (y - y_0) ^ 2 + (z - z_0) ^ 2 = r ^ 2.$

Os pontos da esfera de raio r pode ser parametrizado via

$x = x_0 + r \ cos \ theta \; \ Sin \ phi$

$y = y_0 + r \ sin \ theta \; \ Sin \ phi \ qquad (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \ mbox {e} 0 \ leq \ phi \ leq \ pi) \,$

$z = z_0 + r \ cos \ phi \,$

(Ver também as funções trigonométricas e coordenadas esféricas ).

Uma esfera de qualquer raio centrado na origem é descrito pela seguinte equação diferencial :

$x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.$

Essa equação reflete o fato de que a posição ea velocidade vetores de um ponto viajando na esfera são sempre ortogonais entre si.

O área de superfície de uma esfera de raio r é

$A = 4 \ pi r ^ 2 \,$

então o raio de área de superfície é

$r = \ left (\ frac {A} {4 \ pi} \ right) ^ \ frac {1} {2}.$

O seu volume de é

$V = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3.$

de modo que o raio do volume é

$r = \ left (V \ frac {3} {4 \ pi} \ right) ^ \ frac {1} {3}.$

A esfera tem a área de superfície mais pequena entre todas as superfícies que encerram um volume determinado e que engloba a maior volume de entre todas as superfícies fechadas com uma dada área de superfície. Por esta razão, a esfera aparece na natureza: por exemplo bolhas e pequenas gotas de água são mais ou menos esférica, porque a tensão superficial minimiza a área de superfície localmente.

Uma imagem de uma das esferas mais precisos já criados por seres humanos, uma vez que refrata a imagem de Einstein no fundo. Esta era uma esfera quartzo fundido para o giroscópio Gravidade A sonda B experiência que difere na forma de uma esfera perfeita por não mais do que 40 átomos de espessura. Pensa-se que apenas estrelas de nêutrons são mais suaves. Foi anunciado em 15 de junho de 2007 que australianos cientistas estão pensando em fazer até mesmo esferas mais perfeitas, precisa a 35 milionésimos de milímetro, como parte de uma caçada internacional para encontrar um novo padrão global kg .

O circunscrito cilindro para uma dada esfera tem um volume que é 3/2 vezes o volume da esfera, e também a porção curva tem uma área de superfície que é igual à área de superfície da esfera. Este facto, juntamente com o volume ea superfície fórmulas indicadas acima, já era conhecido por Arquimedes .

Uma esfera também pode ser definida como a superfície formada por rotação de um círculo sobre qualquer diâmetro . Se o círculo é substituído por uma elipse , e rodado em torno do eixo principal, a forma torna-se um prolate esferóide, rodado em torno do eixo menor, um esferóide oblato.

Terminologia

Pares de pontos em uma esfera que se encontram em uma linha reta através do seu centro são chamados pontos antípodas. A círculo grande é um círculo na esfera que tem o mesmo centro e raio de esfera, e, consequentemente, o divide em duas partes iguais. A distância mais curta entre dois pontos não antípodas distintas na superfície e medidos ao longo da superfície, está no grande círculo único que passa por dois pontos.

Se um determinado ponto em uma esfera é designado como seu pólo norte, então o ponto antípoda correspondente é chamado de pólo sul eo equador é o grande círculo que é equidistante a eles. Grandes círculos através dos dois pólos são chamados de linhas (ou meridianos) de longitude, e a linha que liga os dois pólos é chamado o eixo de rotação. Círculos na esfera que são paralelas à linha do equador são linhas de latitude . Esta terminologia também é usado para corpos astronômicos, como o planeta Terra , mesmo que ele não é nem esférico nem mesmo esferoidal (veja geóide).

Uma esfera é dividido em dois hemisférios iguais por todo o plano que passa pelo seu centro. Se dois planos de interseção passar através do seu centro, então eles vão subdividir a esfera em quatro lunes ou biangles, os vértices de que todos coincidem com os pontos antípodas que encontra-se na linha de intersecção dos planos.

Generalização para outras dimensões

As esferas podem ser generalizados para os espaços de alguma dimensão. Para qualquer número natural n, n -sphere, muitas vezes escrito como ^Sn, é o conjunto de pontos em (n + 1) espaço euclidiano -dimensional que estão a uma distância r fixa a partir de um ponto central do referido espaço, onde r é , como antes, um número real positivo. Em particular:

um 0-esfera é um par de pontos de extremidade de um intervalo (- r, r) da reta real
um 1-esfera é um círculo de raio r
a 2-esfera é uma esfera comum
um 3-esfera é uma esfera no espaço euclidiano 4-dimensional.

Esferas para n> 2 são chamados às vezes hiperesferas.

O -sphere n de raio unitário centrado na origem é denotado S ⁿ e é muitas vezes referida como "a" n -sphere. Note-se que a esfera comum é uma 2-esfera, porque é uma superfície 2-dimensional.

A área de superfície do (n -1) -sphere de raio 1 é

$2 \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}$

onde Γ (z) é Euler Função gama.

Outra fórmula para a área de superfície é

$\ Begin {cases} \ displaystyle \ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}, e \ text {if } n \ texto {} é mesmo; \\ \\ \ Displaystyle \ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1} {1} \ cdot 3 \ cdots (n-2)}, & \ text {if} n \ texto {} é estranho. \ end {cases}$

e o volume interior é a área vezes a superfície ${R \ over n}$ ou

$\ Begin {cases} \ displaystyle \ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdots n}, e \ text {if} n \ texto {é ainda} ; \\ \\ \ Displaystyle \ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ n} {1 \ cdot 3 \ cdots n}, e \ text {if} n \ texto {} é estranho. \ end {cases}$

Generalização para espaços métricos

De modo mais geral, numa espaço métrico (E, d), a esfera de centro e raio x

é o conjunto de pontos y tal que d (x, y) = r.

Se o centro é um ponto distinto considerado como origem E, como em um normed espaço, não é mencionado na definição e notação. O mesmo se aplica para o raio se for tomado igual a um, como no caso de um esfera unitária.

Em contraste com um bola, uma esfera pode ser um conjunto vazio, mesmo para um grande raio. Por exemplo, em Z com ⁿ Métrica Euclidiana, uma esfera de raio r é não vazia apenas se ^R2 pode ser escrita como soma dos quadrados dos números inteiros n.

Topologia

Na topologia , uma -sphere n é definido como um espaço homeomorfos ao limite de um (N + 1) -canetas; assim, é homeomorfo ao euclidiano n -sphere, mas talvez falte sua métrica.

um 0-esfera é um par de pontos com o topologia discreta
um 1-esfera é um círculo ( até homeomorfismo ); Assim, por exemplo, (a imagem de) qualquer nó está a 1 esfera
a 2-esfera é uma esfera comum ( até homeomorfismo ); Assim, por exemplo, qualquer esferóide é um 2-esfera

O n -sphere é denotado S ^n. É um exemplo de um compacto colector topológica sem limite. Uma esfera não precisa ser suave ; se é suave, ele não precisa ser difeomorfa à esfera euclidiana.

O Heine-Borel teorema implica que uma euclidiano n -sphere é compacto. A esfera é a imagem inversa de um de um ponto definido no âmbito da função contínua || x ||. Por conseguinte, a esfera é uma S ⁿ é também delimitada fechada.. Por isso, é compacto.

Geometria esférica

Grande círculo em uma esfera

Os elementos básicos de geometria plana são pontos e linhas . Na esfera, os pontos são definidos no sentido usual, mas o análogo de "linha" pode não ser imediatamente aparente. Se se mede por um comprimento de arco que se encontra a caminho mais curto que liga dois pontos que ficam inteiramente no domínio é um segmento da grande círculo que contém os pontos; ver geodésica. Muitos teoremas de geometria clássica são verdadeiras para esta geometria esférica, bem como, mas muitos não (ver postulado paralelo). Em trigonometria esférica, ângulos são definidas entre grandes círculos. Assim trigonometria esférica é diferente de ordinário trigonometria em muitos aspectos. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico superior a 180 graus. Além disso, quaisquer dois triângulos esféricos semelhantes são congruentes.

Onze propriedades da esfera

Em seu livro de geometria e da imaginação David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen descrever onze propriedades da esfera e discutir se essas propriedades determinam com exclusividade a esfera. Várias propriedades para segurar o avião , que pode ser pensado como sendo uma esfera com raio infinito. Estas propriedades são:

Os pontos da esfera são todos a mesma distância a partir de um ponto fixo. Além disso, a razão entre a distância de pontos de seus dois pontos fixos é constante.
A primeira parte é a definição usual da esfera e determina-lo exclusivamente. A segunda parte pode ser facilmente deduzido e segue um semelhante resultado de Apolônio de Perga para o círculo . Esta segunda parte também é válido para o avião .
As seções e contornos avião da esfera são círculos.
Esta propriedade define a esfera de forma exclusiva.
A esfera tem largura constante e perímetro constante.
A largura de uma superfície, é a distância entre pares de planos tangentes paralelas. Existem numerosas outras superfícies convexas fechadas que têm largura constante, por exemplo Tetraedro de Meissner. O perímetro de uma superfície é a circunferência do limite da sua projecção ortogonal num plano. Pode ser provado que cada uma destas propriedades implica o outro.

Um vector normal a uma esfera, um plano normal e a sua secção normal. A curvatura da curva da intersecção representa a curvatura transversal. Para o domínio normal de cada secção através de um determinado ponto será um círculo com o mesmo raio, o raio da esfera. Isto significa que cada ponto na esfera será um ponto umbilical.
Todos os pontos de uma esfera são umbilics.
Em qualquer ponto em uma superfície podemos encontrar uma direcção normal que é perpendicular à superfície, para a esfera estes sobre as linhas que irradiam para fora a partir do centro da esfera. A intersecção de um plano que contém o normal com a superfície irá formar uma chamada curva uma secção normal e a curvatura da curva é a curvatura transversal. Para a maioria dos pontos em um superfícies diferentes secções terão diferentes curvaturas, os valores máximos e mínimos de estes são chamados a curvaturas principais. Pode-se provar que qualquer superfície fechada terá pelo menos quatro pontos chamados pontos umbilical. Numa umbílicos todas as curvaturas seccionais são iguais, em particular o principais de curvatura de são iguais. Os pontos umbilical pode ser pensado como os pontos em que a superfície está estreitamente aproximadas por uma esfera.
Para a esfera das curvaturas de todas as secções normais são iguais, por isso cada ponto é um umbílicos. A esfera eo plano são as únicas superfícies com esta propriedade.
A esfera não tem uma superfície de centros.
Para uma dada secção normal, existe um círculo cuja curvatura é a mesma que a curvatura transversal, é tangente à superfície e cujo centro ao longo de linhas sobre a linha normal. Pegue os dois centro correspondente ao corte máxima e mínima curvaturas estes são chamados os pontos focais, e o conjunto de todos esses centros de formulários a superfície focal.
Para a maioria das superfícies da superfície focal forma duas folhas de cada uma das quais é uma superfície e que se juntam em pontos umbilicais. Há uma série de casos especiais. Para canal superfícies um formas de folha de uma curva e outra folha é uma superfície; Para cones, cilindros, toruses e cíclides ambas as folhas formam curvas. Para a esfera no centro de cada círculo osculador é o centro da esfera e a superfície focal forma um único ponto. Esta é uma propriedade exclusiva da esfera.
Todas as geodésicas da esfera são curvas fechadas.
Geodésicas são curvas em uma superfície que dão a menor distância entre dois pontos. Eles são generalização do conceito de uma linha recta no plano. Para a esfera as geodésicas são grandes círculos. Há muitas outras superfícies com esta propriedade.
De todos os sólidos que têm um dado volume, a esfera é aquele com a área de superfície mais pequena; de todos os sólidos que têm uma dada área de superfície, a esfera é a que tem o maior volume.
Estas propriedades definir a esfera de forma exclusiva. Estas propriedades podem ser vistas por meio da observação bolhas de sabão. Uma bolha de sabão irá incluir um volume fixo e devido à tensão superficial que vai tentar minimizar sua área de superfície. Portanto, uma bolha de sabão flutuando livre será de aproximadamente uma esfera, fatores como a gravidade irá causar uma ligeira distorção.
A esfera tem a menor curvatura médio total entre todos os sólidos convexos com uma dada área de superfície.
O curvatura média é a média das duas curvaturas principais e uma vez que estes são constantes em todos os pontos da esfera, em seguida, de modo a curvatura é significativo.
A esfera tem curvatura média constante positiva.
A esfera é a única superfície sem limite ou singularidades com curvatura média constante positiva. Há outras superfícies com curvatura média constante, a superfícies mínimas ter zero curvatura média.
A esfera tem curvatura constante de Gauss positivo.
Curvatura Gaussian é o produto das duas principais curvaturas. É uma propriedade intrínseca que pode ser determinado pelo comprimento e os ângulos de medição e não depende da forma da superfície é incorporado no espaço. Assim, uma superfície de dobragem não irá alterar a curvatura de Gauss e outras superfícies com curvatura constante Gaussiana positivo pode ser obtida por corte de uma pequena abertura na esfera e dobrá-la. Todas estas outras superfícies teria limites ea esfera é a única superfície sem limite com curvatura constante de Gauss positivo. O pseudoesfera é um exemplo de uma superfície com curvatura constante Gaussiana negativo.
A esfera é transformada em si por uma família de três parâmetros de movimentos rígidas.
Considere-se um lugar esfera unitária na origem, uma rotação em torno do eixo x, y ou z vai mapear a esfera em si mesma, na verdade, qualquer rotação em torno de uma linha que passa pela origem pode ser expressa como uma combinação de rotações em torno de três eixos de coordenadas, ver Ângulos de Euler. Assim, há uma família de três parâmetros de rotações que transformam a esfera em si mesma, isto é a grupo de rotação, SO (3). O avião é a única outra superfície com uma família de três parâmetros das transformações (traduções ao longo do eixo x e y e rotações em torno da origem). Cilindros circulares são as únicas superfícies com duas famílias de parâmetros de movimentos rígidos e do superfícies de revolução e helicóides são as únicas superfícies com uma família a um parâmetro.

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