Sistema de coordenadas esférico

Assuntos Relacionados: Matemática

Sobre este escolas selecção Wikipedia

Crianças SOS tentou tornar o conteúdo mais acessível Wikipedia por esta selecção escolas. Para comparar instituições de caridade de patrocínio esta é a melhor ligação de patrocínio .

Um ponto traçado usando o sistema de coordenadas esférico

Em matemática , coordenar o esférico sistema é um sistema de coordenadas para a representação de figuras geométricas em três dimensões utilizando três coordenadas: a distância radial a partir de um ponto fixo de uma origem, o ângulo zénite do eixo z positivo, eo ângulo azimute a partir do eixo x positivo.

Notação

Existem diversas convenções diferentes para representar as três coordenadas. De acordo com a Organização Internacional de Normalização ( ISO 31-11), na física são normalmente anotado como (r, θ, φ) para a distância radial, zênite, e azimute, respectivamente.

Em matemática (americano), a anotação do zênite e azimute são invertidos como φ é utilizado para designar o ângulo zenital e θ é utilizada para designar o ângulo azimutal. Uma complicação adicional é que listar o azimute antes do zênite alguns textos de matemática, mas esta convenção é canhoto e deve ser evitado. A convenção "matemática" tem a vantagem de ser mais compatível na acepção do θ com a notação tradicional para o bidimensional sistema de coordenadas polares e o tridimensional sistema de coordenadas cilíndricas, enquanto a convenção "física" tem uma aceitação mais ampla geograficamente. Alguns usuários da convenção "física" também usam φ para coordenadas polares para evitar o primeiro problema (como é o ISO padrão para coordenadas cilíndricas). Outros notação usa ρ para a distância radial. A convenção da notação do autor de qualquer trabalho referentes a coordenadas esféricas deve ser sempre verificado antes de usar as fórmulas e equações desse autor. Este artigo usa a convenção padrão.

Definição

O coordenar superfícies das coordenadas esféricas (r, θ, φ). O vermelho esfera mostra os pontos com r = 2, o azul mostra os pontos de cone com θ = 45 °, e a meia-amarelo plano mostra os pontos com φ = -60 °. O -axis z é vertical eo eixo x é destaque em verde. Os três superfícies se intersectam no ponto P com essas coordenadas (mostrado como uma esfera negra); as coordenadas cartesianas de P são mais ou menos (0,707, -1,225, 1,414).

Os três coordenadas (r, θ, φ) são definidos como:

r ≥ 0 é a distância a partir da origem para um dado ponto P.
0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre o eixo z positivo e a linha formada entre a origem e P.
0 ≤ φ <2π é o ângulo entre o eixo x positivo e a linha a partir da origem para o P projectados sobre o plano xy.

φ é referido como o azimute, enquanto θ é referido como o zénite, colatitude ou ângulo polar.

θ e φ perder importância quando r = 0 e φ perde importância quando o pecado (θ) = 0 (em θ = 0 e θ = π).

Para colocar um ponto de as suas coordenadas esféricas, ir unidades r desde a origem ao longo do eixo z positivo, θ rodar em torno do eixo Y na direcção do eixo x positivo e rodar φ em torno do eixo Z na direcção de o eixo dos y positivo.

Coordenar conversões no sistema

Como o sistema de coordenadas esférica apenas um dos muitos sistemas de coordenadas tridimensionais é, existem equações para a conversão de coordenadas entre o sistema esférica e outros coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas

Os três coordenadas esféricas são obtidos a partir de coordenadas cartesianas por:

$r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}$

${\ Theta} = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}} \ right)$

${\ Varphi} = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right).$

Note-se que o arco tangente deve ser definida adequadamente, de modo a ter em conta o quadrante correcto de $y / x$ . O atan2 ou função equivalente realiza este procedimento para fins computacionais.

Por outro lado, coordenadas cartesianas pode ser recuperada a partir coordenadas esféricas por:

${X} = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \ quad$

${Y} = r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \ quad$

${Z} = r \, \ cos \ teta. \ Quad$

Sistema de coordenadas geográficas

O sistema de coordenadas geográficas é uma versão alternativa do sistema de coordenadas esférico, utilizadas principalmente em geografia embora também em matemática e física aplicações. Em geografia, ρ é geralmente descartado ou substituído com um valor que representa elevação ou altitude.

Latitude ${\ Delta} \,$ é o complemento do zénite ou colatitude, e pode ser convertido por:

${\ Delta} = 90 ^ \ circ - \ theta$ Ou

${\ Theta} = 90 ^ \ circ - \ delta$ ,

embora latitude é normalmente representado por θ também. Isto representa um ângulo zenital proveniente do plano xy com um domínio -90 ° ≤ θ ≤ 90 °. A longitude é medida em graus a leste ou a oeste de 0 °, de modo que seu domínio é -180 ° ≤ φ ≤ 180 °.

Sistema de coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é uma extrusão tri-dimensional do sistema de coordenadas polares , com uma coordenada z para descrever a altura de um ponto acima ou abaixo do plano xy. A tupla completo coordenada é (r, φ, z).

Coordenadas cilíndricas podem ser convertidas em coordenadas esféricas por:

$r = \ sqrt {\ rho ^ 2 + z ^ 2}$

${\ Theta} = \ arctan \ frac {\ rho} {z}$

${\ Varphi} = \ varphi \ quad$

Coordenadas esféricas podem ser convertidas em coordenadas cilíndricas por:

$\ Rho = r \ sin \ theta \,$

$\ Varphi = \ varphi \,$

$z = r \ cos \ theta \,$

Aplicações

O coordenadas geográficas sistema aplica os dois ângulos do sistema esférico para expressar locais da Terra coordenar, chamando-os de latitude e longitude. Assim como o bidimensional sistema de coordenadas cartesianas é útil no plano, um sistema esférico de coordenadas bidimensional é útil na superfície de uma esfera. Neste sistema, a esfera é tomado como uma unidade de esfera, de modo que o raio é de unidade e podem geralmente ser ignoradas. Esta simplificação também pode ser muito útil ao lidar com objetos como matrizes de rotação.

Coordenadas esféricas são úteis em análise de sistemas que são simétricas em relação a um ponto; uma esfera que tem a equação cartesiana ² x + y + z ^{2 2} = c ² tem a equação muito simples r = c em coordenadas esféricas. Um exemplo é na resolução de um integrante triplo com uma esfera, como seu domínio.

O elemento de superfície para uma superfície esférica é

$\ Mathrm dS = r ^ 2 \ sin \ theta \, \ mathrm d \ theta \, \ mathrm d \ varphi$

O elemento de volume é

$\ Mathrm dV = r ^ 2 \ sin \ theta \, \ mathrm dr \, \ mathrm d \ theta \, \ mathrm d \ varphi$

Coordenadas esféricas são as coordenadas naturais para descrever e analisar situações físicas onde há simetria esférica, como o campo de energia potencial em torno de uma esfera (ou ponto) com massa ou carga. Dois importantes equações diferenciais parciais , E a equação de Laplace Equação de Helmholtz, permitir que um separação de variáveis em coordenadas esféricas. As porções angulares das soluções para tais equações assumir a forma de harmônicos esféricos.

Outra aplicação é desenho ergonómico, onde r é o comprimento do braço de uma pessoa estacionária e os ângulos descrever a direcção do braço quando ele se estende.

O conceito de coordenadas esféricas pode ser estendido para espaços de dimensões mais elevadas e, em seguida, são referidos como coordenadas hiperesféricas.

Cinemática

Em coordenadas esféricas a posição de um ponto é escrito,

$\ Mathbf {r} = \ rho \ mathbf {e} _ \ rho$

sua velocidade é, em seguida,

$\ Mathbf {v} = \ dot \ rho \ mathbf {e} _ \ rho + \ rho \ dot \ theta \ mathbf {e} _ \ theta + \ rho \ dot \ phi \ sin \ theta \ mathbf {e} _ \ phi$

e a sua aceleração é,

$\ Mathbf {a} = \ left (\ ddot \ rho - \ rho \ dot \ theta ^ 2 - \ rho \ dot \ phi ^ 2 \ pecado ^ 2 \ theta \ right) \ mathbf {e} _ \ rho$

$+ \ Left (\ rho \ ddot \ theta + 2 \ dot \ rho \ dot \ theta - \ rho \ dot \ phi ^ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ \ theta$

$+ \ Left (\ rho \ ddot \ phi \ sin \ theta + 2 \ dot \ rho \ dot \ phi \ sin \ theta + 2 \ rho \ dot \ theta \ dot \ phi \ cos \ theta \ right) \ mathbf { e} _ \ phi$

Retirado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Spherical_coordinate_system&oldid=197896135 "

Tutti i nostri audiolibri su Audible.it