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Raiz quadrada

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Em matemática , uma raiz quadrada (√) de um número x é um número tal que r r 2 = x, ou em palavras, um número cuja r quadrado (o resultado da multiplicação do número por si só) é x. Cada não-negativo número real x tem uma raiz quadrada não-negativa único, chamado a raiz quadrada principal e denotada com uma símbolo radical como √ x. Por exemplo, a raiz quadrada principal de 9 é 3, denotado √ 9 = 3, porque 3 2 = 3 x 3 = 9.

Raízes quadradas, muitas vezes surgem quando resolver equações de segundo grau , ou equações da forma ax 2 + bx + c = 0, devido à variável x ser quadrado.

Cada número x positivo tem duas raízes quadradas. Um deles é √ x, o que é positivo, e os outros -√ x, o que é negativo. Em conjunto, estas duas raízes são denotados ± √ x. Raízes quadradas de números negativos podem ser discutidas no âmbito do números complexos . Raízes quadradas de que não sejam números objetos também podem ser definidos.

Raízes quadradas de números inteiros que não são quadrados perfeitos são sempre números irracionais : números não expressáveis como um razão de dois inteiros. Por exemplo, √ 2 não pode ser escrito exactamente como m / n, onde n e m são números inteiros. No entanto, é exactamente o comprimento do diagonal de um quadrado com comprimento lateral 1. Isto tem sido conhecido desde os tempos antigos, com a descoberta de que √ 2 é irracional atribuída a Hiparco, um discípulo de Pitágoras . (Ver raiz quadrada de 2 para provas da irracionalidade deste número.)

Propriedades

O gráfico da função f (x) = x √, constituída por uma metade parábola com um verticais directriz.

A principal função de raiz quadrada f (x) = √ x (geralmente referida apenas como a "função raiz quadrada") é uma função que mapeia o conjunto de não-negativo números reais R + ∪ {0} sobre si mesmo, e, como todas as funções, sempre retorna um valor único. A função raiz quadrada também mapeia números racionais em números algébricos (um superconjunto dos números racionais); √ x é racional se e somente se X é um número racional, que pode ser representado como uma razão de dois quadrados perfeitos. Em geométricas termos, a função de raiz quadrada mapeia a área de um quadrado ao seu comprimento lateral.

  • Para todos os números reais x,
\ Sqrt {x ^ 2} = \ left | x \ right | = \ begin {cases} x, & \ mbox {if} x \ ge 0 \\ -x, & \ mbox {if} x \ le 0 \ end {} casos (Ver valor absoluto )
  • Para todos os números reais x e y não negativos,
\ Sqrt {xy} = \ sqrt x \ sqrt y
e
\ Sqrt x = x ^ {1/2}.
  • A função raiz quadrada é contínua para todo x não-negativos e diferenciável para todo x positivo. Sua derivada é dada por
f '(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt x}.
  • A série de Taylor de √ 1 + x sobre x = 0 converge para | x | <1 e é dada por
\ Sqrt {x} + 1 = 1 + \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} x ^ 2 + \ frac {1} {16} x ^ 3 - \ frac {5} { 128} x ^ 4 + \ dots \!

Computação

Muitos métodos de cálculo raízes quadradas existem hoje, algumas destinadas a ser feito à mão e alguns destinam a ser feito por uma máquina.

Muitos, mas não todos os calculadoras de bolso tem uma chave de raiz quadrada. Computador planilhas e outros software também são freqüentemente usados para calcular raízes quadradas. Programas de software de computador tipicamente implementar boas rotinas para calcular a função exponencial e o logaritmo natural ou logaritmo , e, em seguida, calcular a raiz quadrada de x utilizando a identidade

\ Sqrt {x} = e ^ {\ frac {1} {2} \ ln x} ou \ Sqrt {x} = 10 ^ {\ frac {1} {2} \ log x}

A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.

O método mais comum de cálculo da raiz quadrada à mão é conhecida como a " . Babilônico método "Trata-se de um algoritmo simples, o que resulta num número mais perto da raiz quadrada real de cada vez que se repete Para encontrar r, a raiz quadrada de um número real x.:

  1. Comece com um valor inicial positivo r arbitrária (o mais próximo da raiz quadrada de x, melhor).
  2. Substitua r pela média entre r e x / r. (É suficiente para tomar um valor aproximado da média, não muito perto para o valor anterior de R e X / R, a fim de assegurar convergência.)
  3. Repita o passo 2 até r e x / r são tão próximas quanto desejar.

Os mais conhecidos complexidade de tempo para calcular uma raiz quadrada de n dígitos de precisão é o mesmo que o descrito para a multiplicação de dois números de n quatro dígitos.

Raízes quadradas de números negativos e complexas

Raiz quadrada complexa
Segundo folha da raiz quadrada complexa
Usando a superfície de Riemann da raiz quadrada, pode-se ver como as duas folhas se encaixam

O quadrado de qualquer número positivo ou negativo é positivo, ea praça de 0 é 0. Portanto, nenhum número negativo pode ter uma raiz quadrada real. No entanto, é possível trabalhar com um maior conjunto de números, chamados números complexos , que contém soluções para a raiz quadrada de uma quantidade negativa. Isto é feito através da introdução de um novo número, denotada por I (j vezes, especialmente no contexto de electricidade) e chamado a unidade imaginária , que é definido tal que i 2 = -1. Usando esta notação, podemos pensar em mim como a raiz quadrada de -1, mas perceber que nós também temos (- i) 2 = i 2 = -1 e assim - eu também é uma raiz quadrada de -1. Da mesma forma que os números reais, dizemos a principal raiz quadrada de -1 é i, ou, mais geralmente, se x é qualquer número positivo, então a raiz quadrada principal de - x é

\ Sqrt {} -x = i \ sqrt x

porque

(I \ sqrt x) ^ 2 = i ^ 2 (\ sqrt x) ^ 2 = (-1) x = -x.

Pelo argumento dado acima, eu posso ser nem positivo nem negativo. Isso cria um problema: para o número complexo z, não podemos definir √ z para ser o "positivo" raiz quadrada de z.

Para cada número complexo z diferente de zero não existe precisamente dois números w tais que w 2 = z. Por exemplo, as raízes quadradas de i são os seguintes:

\ Sqrt {i} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i)

e

- \ Sqrt {i} = - \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i).

A definição usual de √ z é, introduzindo o seguinte corte ramo: se z = r e i φ é representado em coordenadas polares com -π <φ ≤ π, então vamos definir o valor principal para

\ Sqrt {z} = \ sqrt {r} \, e ^ {i \ phi \ over 2}.

Assim definida, a função raiz quadrada é holomorfa em todos os lugares, exceto nos números reais não-positivos (onde não é mesmo contínua). O acima Taylor série para √ 1 + x permanece válida para números complexos x com | x | <1.

Quando o número é de forma rectangular, a fórmula seguinte pode ser usada para o valor do principal:

\ Sqrt {x} + iy = \ sqrt {\ frac {r + x} {2}} + i \ frac {y} {\ sqrt {2 (r + x)}}

onde

r = | x + iy | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}

é o valor absoluto ou o módulo do número complexo, a não ser que X = - r e y = 0. Note que o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original. A parte real do valor principal é sempre não-negativo.

Note-se que, devido à natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a lei √ ZW = √ √ z w é, em geral, não é verdade. (De forma equivalente, o problema ocorre por causa da liberdade na escolha de ramo O ramo escolhido pode ou não pode produzir a igualdade;. Na verdade, a escolha do ramo para a raiz quadrada não necessita de conter o valor de z √ √ w em tudo , levando à insuficiência de igualdade. Um problema similar aparece com a . logaritmo complexo eo log relação z + w = log log (zw)) Erroneamente supondo que esta lei subjacente a várias "provas" defeituosos, por exemplo, o seguinte mostrando que -1 = 1:

-1 = I \ cdot i = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {-1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} = 1

A terceira igualdade não pode ser justificada (ver prova inválido), no entanto, ele pode ser ajustado para ser verdade se (1) possibilitar a liberdade na escolha do ramo deixando de exigir a raiz quadrada principal (definido no início do artigo) implícita na notação √ e (2 ) escolher filial da raiz quadrada de modo a excluir o valor 1. O lado esquerdo se torna ou

\ Sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = i \ cdot i = -1

se o ramo inclui + i ou

\ Sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = (- i) \ cdot (-i) = - 1

se o ramo inclui - i, enquanto o lado da mão direita torna-se

\ Sqrt {-1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} = 1,

novamente pela escolha do ramo.

Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é um matriz definida positiva ou do operador, então existe exatamente uma matriz positiva definida ou operador B com B = 2 A; nós então definir √ A = B.

De modo mais geral, para todos os matriz normal ou operador Uma existem normal de operadores B tal que B 2 = A. Em geral, há várias dessas operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para os operadores normais de uma maneira satisfatória. Operadores definidas positivas são semelhantes aos números reais positivos, e os operadores normais são semelhantes aos números complexos.

Raízes quadradas principais dos primeiros 20 inteiros positivos

Como frações decimais não periódicas

\ Sqrt {1}= \, 1
\ Sqrt {2}\ Approx 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
\ Sqrt {3}\ Approx 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
\ Sqrt {4}= \, 2
\ Sqrt {5}\ Approx 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
\ Sqrt {6}\ Approx 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
\ Sqrt {7}\ Approx 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
\ Sqrt {8}\ Approx 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
\ Sqrt {9}= \, 3
\ Sqrt {10}\ Approx 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\ Sqrt {11}\ Approx 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\ Sqrt {12}\ Approx 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\ Sqrt {13}\ Approx 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\ Sqrt {14}\ Approx 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\ Sqrt {15}\ Approx 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\ Sqrt {16}= \, 4
\ Sqrt {17}\ Approx 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\ Sqrt {18}\ Approx 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\ Sqrt {19}\ Approx 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\ Sqrt {20}\ Approx 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Como frações contínuas periódicas

Um dos resultados mais intrigantes do estudo de números irracionais como frações contínuas foi obtido por Joseph Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descobriu que a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo não-quadrado pode ser representado por um periódico fracção contínua. Isto é, em que um certo padrão de dígitos ocorre repetidamente nos denominadores (ver exemplo abaixo). Num sentido, estes são as raízes quadradas muito mais simples número irracional, porque pode ser representado com um teste padrão simples de repetição de dígitos.

\ Sqrt {2}= \, [1; 2, 2, ...]
\ Sqrt {3}= \, [1; 1, 2, 1, 2, ...]
\ Sqrt {4}= \,
\ Sqrt {5}= \, [2; 4, 4, ...]
\ Sqrt {6}= \, [2; 2, 4, 2, 4, ...]
\ Sqrt {7}= \, [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
\ Sqrt {8}= \, [2; 1, 4, 1, 4, ...]
\ Sqrt {9}= \,
\ Sqrt {10}= \, [3; 6, 6, ...]
\ Sqrt {11}= \, [3; 3, 6, 3, 6, ...]
\ Sqrt {12}= \, [3; 2, 6, 2, 6, ...]
\ Sqrt {13}= \, [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
\ Sqrt {14}= \, [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
\ Sqrt {15}= \, [3; 1, 6, 1, 6, ...]
\ Sqrt {16}= \,
\ Sqrt {17}= \, [4; 8, 8, ...]
\ Sqrt {18}= \, [4; 4, 8, 4, 8, ...]
\ Sqrt {19}= \, [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
\ Sqrt {20}= \, [4; 2, 8, 2, 8, ...]

A notação colchete utilizada acima é uma espécie de taquigrafia matemática para economizar espaço. Escrito em notação mais tradicional do simples fracção contínua para a raiz quadrada de 11 - [3; 3, 6, 3, 6, ...] - parece com isso:

\ Sqrt {11} = 3 + \ cfrac {1} {3 + \ cfrac {1} {6 + \ cfrac {1} {3 + \ cfrac {1} {6 + \ cfrac {1} {\ ddots}} }}} \,

onde o padrão de dois dígitos {3, 6} repete uma e outra e outra vez nos denominadores parciais.

Construção geométrica da raiz quadrada

A raiz quadrada pode ser construído com uma régua e compasso. Nos seus elementos , Euclides (fl 300 aC.) deu a construção do média geométrica das duas quantidades em dois lugares diferentes: Proposição e II.14 Proposição VI.13. Uma vez que a média geométrica de a e b é √ AB, pode-se construir um √ simplesmente tomando b = 1.

A construção também é dado por Descartes no seu La Géométrie, ver figura 2 no página 2. No entanto, Descartes não fez nenhuma pretensão de originalidade e sua audiência teria sido bastante familiarizado com Euclides.

Outro método de construção geométrica usa certas triângulos e indução: √ 1 pode, evidentemente, ser construído, e uma vez √ x tem sido construído, o triângulo com 1 x √ e para as pernas tem uma hipotenusa de √ x + 1.

História

O Rhind Papyrus é uma cópia de 1650 aC de um trabalho ainda mais cedo e nos mostra como os egípcios extraído raízes quadradas.

Na ?ndia antiga , o conhecimento de aspectos teóricos e aplicados de raiz quadrada e quadrado foi pelo menos tão antiga quanto a Sulba Sutras, datada em torno de 800-500 BC (possivelmente muito mais cedo). Um método para encontrar muito boas aproximações para a raiz quadrada de 2 e 3 são dadas na Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata na Aryabhatiya (seção 2.4), deu um método para encontrar a raiz quadrada de números com muitos dígitos.

DE Smith em História da Matemática, diz, sobre a situação existente na Europa: "Na Europa esses métodos (para descobrir a praça e raiz quadrada) não apareceu antes Cataneo (1546). Ele deu o método de Aryabhata para determinar a raiz quadrada ".

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