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Distribuição t de Student

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T de Student
Função densidade de probabilidade
Estudante densite best.JPG
Função de distribuição cumulativa
T distributionCDF.png
Parâmetros \ Nu> 0 graus de liberdade ( verdadeiro )
Apoio x \ in (- \ infty; + \ infty) \!
PDF \ Frac {\ Gamma (\ frac {\ nu + 1} {2})} {\ sqrt {\ nu pi \} \, \ Gamma (\ frac {\ nu} {2})} \ left (1+ \ frac {x ^ 2} {\ nu} \ right) ^ {- (\ frac {\ nu + 1} {2})} \!
CDF \ Begin {matrix} \ frac {1} {2} + x \ Gamma \ left (\ frac {\ nu + 1} {2} \ right) \ cdot \\ [0.5em] \ frac {\, _ 2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ nu + 1} {2}; \ frac {3} {2}; - \ frac {x ^ 2} {\ nu} \ right)} {\ sqrt {\ pi nu \} \, \ Gamma (\ frac {\ nu} {2})} \ end {matrix}
onde \, _ 2F_1 é o função hipergeométrica
Significar 0 \ texto {for} \ nu> 1 , De outra forma indefinida
Mediano 0
Modo 0
Variação \ Frac {\ nu} {\ nu-2} \ texto {for} \ nu> 2 \! , De outra forma indefinida
Assimetria 0 \ texto {for} \ nu> 3
Ex. curtose \ Frac {6} {\ nu-4} \ texto {for} \ nu> 4 \!
Entropy \ Begin {matrix} \ frac {\ nu + 1} {2} \ left [\ psi (\ frac {1+ \ nu} {2}) - \ psi (\ frac {\ nu} {2}) \ right ] \\ [0.5em] + \ log {\ left [\ sqrt {\ nu} B (\ frac {\ nu} {2}, \ frac {1} {2}) \ right]} \ end {matrix}
  • \ Psi : função digamma,
  • B : função beta
MGF (Não definido)

-distribuição T de Student (ou também -distribuição t), em probabilidade e estatística , é uma distribuição de probabilidade que surge no problema de estimação da média de uma distribuição normal quando a população tamanho da amostra é pequeno. É a base do popular -Testes t de Student para a significância estatística da diferença entre duas amostras meios , e por intervalos de confiança para a diferença entre duas médias populacionais. Distribuição t de Student é um caso especial do distribuição hiperbólica generalizada.

A derivação do -distribuição t foi publicado pela primeira vez em 1908 por William Sealy Gosset, enquanto ele trabalhava em uma Guinness Brewery em Dublin . Ele foi proibido de publicar em seu próprio nome, para que o papel foi escrito sob o pseudônimo de Student. O teste t ea teoria associada tornou-se conhecido através do trabalho de RA Fisher, que telefonou para a distribuição de "distribuição de Student".

Distribuição de Student surge quando (como em quase todos os trabalhos estatísticos prático) da população desvio padrão é desconhecida e tem que ser calculada a partir dos dados. Problemas Textbook tratando o desvio padrão como se eram conhecidos são de dois tipos: (1) aqueles em que o tamanho da amostra é tão grande que se pode tratar uma estimativa da base de dados- variância como se fosse determinado, e (2) aqueles que ilustram o raciocínio matemático, em que o problema de estimar o desvio padrão é ignorado temporariamente porque esse não é o ponto que o autor ou o instrutor é então explicar.

Por que usar t -distribuição do Estudante

Intervalos de confiança e testes de hipóteses dependem -distribuição t de Student para lidar com incerteza resultante da estimativa do desvio padrão de uma amostra, enquanto que se o desvio padrão da população eram conhecidos, uma distribuição normal seria utilizada.

Como t de Student -distribuição acontece

Suponhamos que X 1, ..., X n são independentes variáveis aleatórias que são normalmente distribuídos com μ valor esperado e variância σ 2. Deixar

\ overline {X} _n = (X_1 + \ cdots + x_n) / n

ser a média da amostra, e

{} S_n ^ 2 = \ frac {1} {n-1} \ sum_ {i = 1} ^ n \ left (X_i- \ overline {X} _n \ right) ^ 2

ser a variância da amostra. É facilmente mostrado que a quantidade

Z = \ frac {\ overline {X} _n- \ mu} {\ sigma / \ sqrt {n}}

é normalmente distribuído com média 0 e variância 1, uma vez que a média da amostra \ Scriptstyle \ overline {X} _n é normalmente distribuído com média \ mu e erro padrão \ Scriptstyle \ sigma / \ sqrt {n} .

Gosset estudou um relacionado quantidade fundamental,

T = \ frac {\ overline {X} _n- \ mu} {s_n / \ sqrt {n}},

que difere de Z em que o desvio padrão exacto \ Scriptstyle \ sigma é substituída pela variável aleatória \ Scriptstyle s_n . Tecnicamente, \ Scriptstyle (n-1) s_n 2 ^ / \ ^ 2 sigma tem um \ Scriptstyle \ chi_ {n-1} ^ 2 distribuição por Teorema de Cochran. O trabalho de gosset mostrou que T tem o função densidade de probabilidade

f (t) = \ frac {\ Gamma (\ frac {\ nu + 1} {2})} {\ sqrt {\ nu pi \} \, \ Gamma (\ frac {\ nu} {2})} \ esquerda (1+ \ frac {t ^ 2} {\ nu} \ right) ^ {- (\ frac {\ nu + 1} {2})} \ !,

com ν igual a n - 1 e onde Γ é a Função gama.

Isto também pode ser escrita como

f (t) = \ frac {1} {\ sqrt {\ nu} \, B \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ nu} {2} \ right)} \ left (1+ \ frac {t ^ 2} {\ nu} \ right) ^ {- (\ frac {\ nu + 1} {2})} \ !,

onde B é a Beta função.

A distribuição de T é agora chamado o -distribuição t. O parâmetro ν é chamado o número de graus de liberdade. A distribuição depende ν, mas não μ ou σ; a falta de dependência de μ e σ é o que faz o t -distribuição importante na teoria e na prática.

Os momentos da distribuição t são

E (T ^ k) = \ begin {cases} 0 & \ mbox {k ímpar}, \ quad 0 <k <\ nu \\ \ frac {\ Gamma (\ frac {k + 1} {2}) \ Gamma (\ frac {\ nu-k} {2}) \ nu ^ {k / 2}} {\ sqrt {\ pi} \ Gamma (\ frac {\ nu} {2})} & \ mbox {} mesmo k , \ quad 0 <k <\ nu \\ \ mbox {} NaN & \ mbox {k ímpar}, \ quad 0 <\ nu \ leq k \\ \ infty & \ mbox {k mesmo}, \ quad 0 <\ nu \ leq k \\ \ end {cases}

Deve notar-se que o termo para 0 <k <ν, K mesmo, pode ser simplificada utilizando as propriedades do Função gama para

E (T ^ k) = \ Prod_ {i = 1} ^ {k / 2} \ frac {2-I-1} {\ nu - 2i} \ nu ^ {k / 2} \ qquad k \ mbox {} mesmo, \ quad 0 <k <\ nu.

Intervalos de confiança de derivados de t de Student -distribuição

Suponhamos que o número A é escolhido de modo a que

\ Pr (-A <t <A) = 0,9, \,

quando T tem um -distribuição t com n - 1 graus de liberdade. Este é o mesmo que

\ Pr (T <A) = 0,95, \,

então A é o "percentil 95" desta distribuição de probabilidade, ou A = t _ {(0,05, n-1)} . Em seguida

\ Pr \ left (-A <{\ overline {X} _n - \ mu \ over s_n / \ sqrt {n}} <A \ right) = 0,9,

e isso é equivalente a

\ Pr \ left (\ overline {X} _n - A {s_n \ over \ sqrt {n}} <\ mu <\ overline {X} _n + A {s_n \ over \ sqrt {n}} \ right) = 0,9 .

Por conseguinte, o intervalo cujos terminais são

\ Overline {X} _n \ pm A \ frac {s_n} {\ sqrt {n}}

está a 90 por cento intervalo de confiança para μ. Portanto, se encontramos a média de um conjunto de observações que podemos razoavelmente esperar ter uma distribuição normal, podemos usar o -distribuição t para examinar se os limites de confiança nesse média incluem algum valor previsto teoricamente - tais como o valor previsto em um hipótese nula.

É este resultado que é usado no -Testes t de Student : uma vez que a diferença entre as médias das amostras de duas distribuições normais é normalmente distribuído em si, o -distribuição t pode ser usado para examinar se a referida diferença pode ser razoavelmente suposto ser zero .

Se os dados são distribuídos normalmente, a um lado (1 - a) -upper limite de confiança (LSC) do meio, pode ser calculada usando a seguinte equação:

\ Mathrm {UCL} _ {1} =-a \ overline {X} _n + \ frac {t_ {a, n-1} s_n} {\ sqrt {n}}.

A UCL resultante será o maior valor médio que irá ocorrer para um determinado intervalo de confiança e tamanho populacional. Em outras palavras, \ Overline {X} _n sendo a média do conjunto de observações, a probabilidade de que a média da distribuição é inferior aos \ Mathrm {UCL} _ {1-a} é igual ao nível de confiança 1-um.

Uma série de outras estatísticas podem ser mostrados para ter -distributions t para amostras de tamanho moderado sob hipóteses nulas que são de interesse, de modo que o -distribuição t constitui a base para os testes de significância em outras situações, bem como ao examinar as diferenças entre as médias. Por exemplo, a distribuição de O coeficiente de correlação de Spearman, rho, no caso nula (correlação zero) é bem aproximada pela distribuição t para tamanhos de amostra acima de cerca de 20.

Ver intervalo de previsão para um outro exemplo do uso desta distribuição.

Integral de p-valor da função densidade de probabilidade e do Aluno

A função \ Scriptstyle A (t | \ nu) é a integral da função densidade de probabilidade de Student, ƒ (t) entre - t e t. É, assim, dá a probabilidade de que um valor de t menos do que o calculado a partir dos dados observados ocorreria por acaso. Por conseguinte, a função \ Scriptstyle A (t | \ nu) pode ser utilizado ao testar se a diferença entre as médias dos dois conjuntos de dados é estatisticamente significativa, através do cálculo do valor correspondente de t e a probabilidade da ocorrência do mesmo se os dois conjuntos de dados foram desenhados a partir da mesma população. Este é utilizado em uma variedade de situações, particularmente em t -Testes . Para a estatística t, com \ Scriptstyle \ nu graus de liberdade, \ Scriptstyle A (t | \ nu) é a probabilidade de que t que ser menor do que o valor observado se os dois meios foram as mesmas (desde que a média mais pequena é subtraído do maior, de modo que t> 0). Ela é definida para verdadeiro t pela seguinte fórmula:

A (t | \ nu) = \ frac {1} {\ sqrt {\ nu} B \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ nu} {2} \ right)} \ int \ limits_ {} -t ^ {t} \ left (1+ \ frac {x ^ 2} {\ nu} \ right) ^ {- \ frac {\ nu 1} {2}} \, dx

onde B é a Beta função. Para t> 0, não há uma relação para a regularização função beta incompleta I x (a, b) como se segue:

A (t | \ nu) = 1 - I _ {\ frac {\ nu} {\ nu + t ^ 2}} \ left (\ frac {\ nu} {2}, \ frac {1} {2} \ right ).

A probabilidade de um valor de a estatística t maior do que ou igual ao observado que acontecem por acaso, se os dois conjuntos de dados foram desenhados a partir da mesma população, é dada pela

p = {1-A (t | \ nu)} \,.

Além disso teoria

O resultado de Gosset pode ser indicado de forma mais geral. (Veja, por exemplo, Hogg e Craig, Seções 4.4 e 4.8.) Deixe-Z tem uma distribuição normal com média 0 e variância 1. Seja V tem uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade ν. Suponha ainda que Z e V são independente (ver Teorema de Cochran). Em seguida, o rácio

\ Frac {Z} {\ sqrt {V / \ nu \}}

tem uma -distribuição t com ν graus de liberdade.

Para um -distribuição t com ν graus de liberdade, o valor esperado é 0, e a sua variação é ν / - 2) se ν> 2. O assimetria é 0 eo curtose é 6 / - 4) se ν> 4.

O função de distribuição cumulativa é dada por um função beta incompleta,

\ Int _ {- \ infty} ^ tf (u) \, du = I_x \ left (\ frac {\ nu} {2}, \ frac {\ nu} {2} \ right)

com

x = \ frac {t + \ sqrt {t ^ 2 + \ nu}} {2 \ sqrt {t ^ 2 + \ nu}}.

O -distribuição t está relacionada com a F-distribuição da seguinte forma: o quadrado de um valor de t, com graus de liberdade ν é distribuído como F com 1 e ν graus de liberdade.

A forma geral da função densidade de probabilidade da -distribuição t lembra o formato de um sino normalmente distribuído variável com média 0 e variância 1, exceto que ele é um pouco menor e mais amplo. À medida que o número de graus de liberdade cresce, o -distribuição t se aproxima da distribuição normal com média e variância 0 1.

As imagens seguintes mostram a densidade do -distribuição t para aumentar valores de ν. A distribuição normal é mostrado como uma linha azul para a comparação .; Note-se que o t -distribuição (linha vermelha) torna-se mais próxima da distribuição normal como ν aumenta. Para ν = 30 a -distribuição t é quase a mesma que a distribuição normal.

Densidade da -distribuição t (vermelho e verde) para 1, 2, 3, 5, 10, 30 e DF em comparação com distribuição normal (azul)
T 1df.png distribuição T 2df.png distribuição T 3df.png distribuição
T 5df.png distribuição T 10df.png distribuição T 30df.png distribuição

Tabela de valores seleccionados

A tabela a seguir lista alguns valores selecionados para t-distribuições com ν graus de liberdade para uma série de intervalos de confiança unilaterais. Para um exemplo de como ler a tabela, dê a quarta linha, que começa com 4; isso significa que ν, o número de graus de liberdade, é de 4 (e se estamos lidando, como acima, com valores de n com um montante fixo, n = 5). Pegue a quinta entrada, na coluna 95%. O valor dessa entrada é "2.132". Então a probabilidade de que T é inferior a 2,132% ou 95 é \ Mbox {Pr} \ left (- \ infty <T <2,132 \ right) = 0,95 ; a entrada não significa (como pôde com outras distribuições) que \ Mbox {Pr} \ left (-2,132 <T <2,132 \ right) = 0,95 .

Na verdade, pelo simetria da distribuição,

Pr (T <-2,132) = 1 - Pr (T> -2,132) = 1-0,95 = 0,05,

então

Pr (-2,132 <t <2,132) = 1 - 2 (0,05) = 0,9.

Note-se que a última linha também dá pontos críticos: a -distribuição t com infinitamente muitos graus de liberdade é uma distribuição normal. (Veja abaixo: distribuições relacionadas).

\ Nu 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,75% 99,9% 99,95%
1 1,000 1.376 1.963 3.078 6,314 12,71 31.82 63,66 127,3 318,3 636,6
2 0,816 1.061 1.386 1.886 2.920 4,303 6,965 9,925 14.09 22.33 31,60
3 0,765 0,978 1.250 1.638 2.353 3,182 4.541 5,841 7,453 10,21 12,92
4 0,741 0,941 1.190 1.533 2.132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8.610
5 0,727 0,920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4,032 4,773 5,893 6,869
6 0,718 0,906 1.134 1.440 1.943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959
7 0,711 0,896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3,499 4,029 4,785 5,408
8 0,706 0,889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4,501 5,041
9 0,703 0,883 1.100 1.383 1.833 2.262 2,821 3.250 3,690 4,297 4,781
10 0.700 0,879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4,144 4,587
11 0,697 0,876 1.088 1.363 1,796 2.201 2.718 3.106 3,497 4,025 4,437
12 0,695 0,873 1.083 1.356 1.782 2.179 2,681 3,055 3.428 3.930 4,318
13 0,694 0,870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3,372 3.852 4,221
14 0,692 0,868 1.076 1.345 1.761 2.145 2,624 2,977 3,326 3.787 4.140
15 0,691 0,866 1.074 1.341 1.753 2.131 2,602 2,947 3.286 3,733 4,073
16 0.690 0,865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2,921 3.252 3,686 4,015
17 0,689 0,863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2,898 3.222 3.646 3.965
18 0,688 0,862 1.067 1.330 1.734 2.101 2,552 2.878 3,197 3.610 3,922
19 0,688 0,861 1.066 1.328 1.729 2,093 2.539 2,861 3.174 3,579 3,883
20 0,687 0,860 1.064 1.325 1.725 2.086 2,528 2.845 3.153 3,552 3.850
21 0,686 0,859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3,527 3,819
22 0,686 0,858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2,819 3.119 3.505 3.792
23 0,685 0,858 1.060 1.319 1.714 2.069 2,500 2.807 3.104 3.485 3,767
24 0,685 0,857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2,797 3.091 3.467 3,745
25 0,684 0,856 1.058 1.316 1.708 2.060 2,485 2,787 3.078 3.450 3,725
26 0,684 0,856 1.058 1.315 1.706 2.056 2,479 2.779 3.067 3,435 3,707
27 0,684 0,855 1.057 1.314 1.703 2.052 2,473 2,771 3.057 3.421 3,690
28 0,683 0,855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3,047 3,408 3,674
29 0,683 0,854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3,038 3.396 3,659
30 0,683 0,854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3,385 3.646
40 0,681 0,851 1.050 1.303 1.684 2,021 2.423 2.704 2.971 3,307 3.551
50 0,679 0,849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2,678 2.937 3.261 3.496
60 0,679 0,848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2,915 3,232 3.460
80 0,678 0,846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2,887 3,195 3.416
100 0,677 0,845 1.042 1.290 1.660 1.984 2,364 2,626 2.871 3.174 3.390
120 0,677 0,845 1.041 1.289 1.658 1.980 2,358 2.617 2.860 3.160 3.373
\ Infty 0,674 0,842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2,576 2.807 3.090 3.291

Veja também t-mesa .

O número no início de cada linha da tabela acima é ν que foi acima definido como n - 1. A percentagem ao longo do topo é 100% (1 - α). Os números no corpo principal da tabela são t α, ν. Se uma quantidade T é distribuída como a distribuição t de Student com graus ν de liberdade, em seguida, existe uma probabilidade de 1 -. Α que t vai ser menor do que o t α, ν (calculado como por um teste unilateral ou unilateral conforme oposição a um bicaudal teste.)

Por exemplo, dada uma amostra com uma variância da amostra 2 e média da amostra de 10, feita a partir de um conjunto de amostras de 11 (10 graus de liberdade), usando a fórmula

\ Overline {X} _n \ pm A \ frac {s_n} {\ sqrt {n}}.

Podemos determinar que pelo 90% de confiança, nós temos uma média verdadeira deitado abaixo

10 + 1,37218 \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {11}} = 10,58510.

(Por outras palavras, em média, 90% das vezes que um limite superior é calculada por este método, a média verdadeira encontra-se abaixo deste limiar superior.) E, ainda em 90% de confiança, que tem uma média verdadeira deitada sobre

10-1,37218 \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {11}} = 9,41490.

(Por outras palavras, em média, 90% das vezes que um limite inferior é calculada por este método, a média verdadeira se encontra acima deste limite inferior). Assim que a 80% de confiança, que tem uma média verdadeira situada entre

10 \ pm1.37218 \ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {11}} = [9,41490, 10,58510].

(Por outras palavras, em média, 80% das vezes que os limiares superior e inferior são calculados por este método, a média verdadeira é tanto abaixo do limiar superior e acima do limiar mais baixo. Este não é o mesmo que dizer que existe uma probabilidade de 80% que a média verdadeira situa-se entre um par particular de limiares superior e inferior que têm sido calculadas por este método - ver intervalo de confiança e falácia do procurador.)

Para obter informações sobre a função de distribuição cumulativa inversa ver Quantile função.

Casos especiais

Certos valores de ν dar uma forma especialmente simples.

ν = 1

Função de distribuição:

F (x) = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {\ pi} \ arctan (x).

Função de densidade:

f (x) = \ frac {1} {{\ pi} (1 + x ^ 2)}.

Ver Distribuição Cauchy

ν = 2

Função de distribuição:

F (x) = \ frac {1} {2} \ left [1 + \ frac {x} {\ sqrt {2 + x ^ 2}} \ right].

Função de densidade:

f (x) = \ frac {1} {\ left (2 + x ^ 2 \ right) ^ {3/2}}.

Modelagem paramétrica robusta

O -distribuição t é frequentemente utilizado como uma alternativa para a distribuição normal como um modelo para os dados. É frequentemente o caso que os dados reais têm caudas mais pesadas do que a distribuição normal permite. A abordagem clássica foi identificar casos anómalos e excluir ou downweight-los de alguma forma. No entanto, nem sempre é fácil de identificar valores extremos (especialmente nas elevadas dimensões), e o -distribuição t é uma escolha natural de modelo para esses dados e fornece um método paramétrico de estatísticas robustas.

Lange et al exploraram o uso da -distribuição t para a modelagem robusta de dados pesados de cauda em uma variedade de contextos. Uma conta de Bayesian pode ser encontrado em Gelman et al. Os graus de liberdade parâmetro controla a curtose da distribuição e é correlacionada com o parâmetro de escala. A probabilidade pode ter múltiplas máximas locais e, como tal, é muitas vezes necessário fixar os graus de liberdade a um valor relativamente baixo e estimar os outros parâmetros, tendo isso como dado. Alguns autores relatam que valores entre 3 e 9 são muitas vezes boas escolhas. Venables e Ripley sugerem que um valor de 5 é muitas vezes uma boa escolha.

Distribuições relacionados

  • X \ sim \ mathrm {t} (\ nu) tem um t -distribuição se \ Sigma ^ 2 \ sim \ mbox {Inv -} \ chi ^ 2 (\ nu, 1) \! tem um escalados inverse- χ 2 distribuição e X \ sim \ mathrm {} N (0, \ sigma ^ 2) \! tem uma distribuição normal .
  • Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1 = 1, \ nu_2 = \ nu) tem um F -distribuição se Y = X ^ 2 \! e X \ sim \ mathrm {t} (\ nu) \! -distribuição tem t de Student.
  • Y \ sim \ mathrm {N} (0,1) \! tem uma distribuição normal quanto Y = \ lim _ {\ nu \ to \ infty} X onde X \ sim \ mathrm {t} (\ nu) .
  • X \ sim \ mathrm {} Cauchy (0,1) tem um Distribuição Cauchy se X \ sim \ mathrm {t} (\ nu = 1) .
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