Subconjunto

Euler mostra o diagrama
A é um subconjunto de B

Diagrama de Venn exibição
A é um subconjunto de B. O círculo à esquerda é A, as partes B. vermelho direito indicar possíveis situações. A situação em que algo está dentro do círculo A, mas não em B não é vermelho, assim, impossível.

Em matemática , especialmente na teoria dos conjuntos , um A é definido um subconjunto de um conjunto B, se A é "contido" dentro B. Observe que A e B podem coincidir. A relação de um conjunto a ser um subconjunto de outro é chamado de inclusão ou de contenção.

Definições

Se A e B são cada e conjuntos elemento de A é também um elemento de B, então:

• A é um subconjunto de (ou está incluída) B, denotada por ,

ou equivalentemente

• B é um superconjunto (ou inclui) A, denotado por .

Se A é um subconjunto de B, mas não é um igual a B (ou seja, existe pelo menos um elemento de B não continha em A), em seguida

• A também é adequada uma (ou estrito) subconjunto de B; isto é escrito como .

ou equivalentemente

• B é um subconjunto adequado de A; isto é escrito como .

Para qualquer conjunto S, a relação de inclusão é um ⊆ ordem parcial sobre o conjunto 2 ^S de todos os subconjuntos de S (o conjunto de energia de S).

Os símbolos e ⊂ ⊃

Outros autores preferem utilizar os símbolos ⊂ ⊃ e para indicar e super subconjunto apropriado, respectivamente, em vez de e . Isto faz uso ⊆ e ⊂ análogo ao ≤ e <Por exemplo, se x ≤ y então X pode ser igual a y, ou talvez não, mas se x <y, então x definitivamente não é igual a y, mas é estritamente menor que y . Da mesma forma, usando o "⊂ significa subconjunto apropriado" convenção, se A ⊆ B, então A pode ou não ser igual a B, mas se um ⊂ B, então A não é igual a B definitivamente.

Exemplos

• O conjunto {1, 2} é um subconjunto apropriado de {1, 2, 3}.
• Qualquer conjunto é um subconjunto de si mesmo, mas não é um subconjunto próprio.
• O conjunto vazio, ∅ escrito, é também um subconjunto de um determinado conjunto X. (Esta declaração é vacuously verdade, ver a prova abaixo) O conjunto vazio é sempre um subconjunto próprio, com exceção de si mesmo.
• O conjunto {x: x é um número primo maior do que 2000} é um subconjunto apropriado de {x: x é um número impar maior que 1000}
• O conjunto de números naturais é um subconjunto próprio do conjunto de números racionais e o conjunto de pontos em um segmento de linha é um subconjunto do conjunto de pontos em uma linha . Estes são exemplos de contra-intuitivo em que tanto a parte eo todo são infinitas, ea parte tem o mesmo número de elementos como o todo (ver Cardinalidade de conjuntos infinitos).

Propriedades

Proposição 1

O conjunto vazio é um subconjunto de cada set.

Prova: Dado qualquer conjunto A, queremos provar que o é um subconjunto de um. Trata-se de mostrar que todos os elementos de S são elementos de A. Mas não existem elementos de ø.

Para o matemático experiente, a inferência "ø não tem elementos, para que todos os elementos de S são elementos de A" é imediata, mas pode ser mais problemático para o novato. Desde ø não possui membros em tudo, como pode "eles" ser membros de qualquer outra coisa? Ela pode ajudar a pensar nisso o contrário. A fim de provar que não era ø um subconjunto de A, teríamos de encontrar um elemento de O que não foi também um elemento de A. Dado que não existem elementos de ø, isso é impossível e, portanto, ø é realmente um subconjunto de um.

Proposição 2

A proposição seguinte diz que a inclusão é um ordem parcial.

Se A, B e C são conjuntos de preensão, em seguida, o seguinte:

reflexividade: A ⊆ A

antissimetria: A ⊆ B e B ⊆ A Se e apenas se A = B

transitividade: Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C

Proposição 3

A proposição seguinte diz que para qualquer conjunto S o conjunto de energia de S ordenados por inclusão é um leis limitadas estrutura, e, portanto, juntamente com a distribuição e complementar para sindicatos e cruzamentos (ver As leis fundamentais do conjunto álgebra), mostram que é um Álgebra booleana.

Se A, B e C são subconjuntos de um conjunto S, em seguida, o seguinte espera:

existência de um e um elemento menos maior elemento:

• ø A ⊆ ⊆ S (que ø ⊆ A é Proposição 1 acima.)

existência de junta-se a:

• A ⊆ A ∪ B
• Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∪ B ⊆ C

existência de atende:

• A ∩ B ⊆ A
• Se C ⊆ A e C ⊆ B, em seguida, C ⊆ A ∩ B

Proposição 4

A proposição seguinte diz que, a declaração "A ⊆ B", é equivalente a várias outras declarações envolvendo sindicatos, cruzamentos e complementa.

Para qualquer dois conjuntos A e B, a seguir são equivalentes:

• A ⊆ B
• A ∩ B = A
• A ∪ B = B
• A - B = O
• B '⊆ A'

Isso mostra que a relação do conjunto inclusão pode ser caracterizado por qualquer uma das operações de conjunto de união ou intersecção, o que significa que a noção de conjunto inclusão é axiomaticamente supérfluo dado qualquer dessas operações e igualdade.

Proposição 5

Se o número de elementos do conjunto A é N, então o número de todos os subconjuntos de A é igual .

A prova disso é um exercício de indução.

Outras propriedades de inclusão

Inclusão é o canônico ordem parcial no sentido de que cada conjunto parcialmente ordenado (X, ) É isomorphic para alguns coleção de conjuntos ordenados por inclusão. Os números ordinais são um exemplo simples, se cada n ordinal é identificado com o conjunto [n] de todos os ordinais inferiores ou iguais a n, em seguida, uma ≤ b se e somente se [a] ⊆ [b].

Para o poder definir 2 ^S de um conjunto S, a inclusão de ordem parcial é (até um ordem isomorfismo) do Produto cartesiano de k = | S | (a cardinalidade de S) cópias da ordem parcial sobre {0,1} para o qual 0 <1. Isto pode ser ilustrado por enumerar S = {s _{1, S 2,} ..., s _k} e se associando com cada subconjunto T ⊆ S ( que é dizer com cada elemento de ^2S) a -tuple k a partir de {0,1} ^k de que o i-ésimo coordenada é 1 se e somente se s _i é um membro de T.