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Série de Taylor

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Informações de fundo

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Como o grau dos aumentos polinômio de Taylor, que se aproxima a função correta. Esta imagem mostra \ Sin x e aproximações de Taylor, polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.
A função exponencial (em azul), ea soma dos primeiros n 1 termos de sua série de Taylor a 0 (em vermelho).

Em matemática , a série de Taylor é uma representação de uma função como um infinito soma dos termos calculados a partir dos valores dos seus derivados num único ponto. Pode ser considerado como o limite dos polinómios de Taylor . Série de Taylor são nomeadas em homenagem a Inglês matemático Brook Taylor. Se a série utiliza os derivados em zero, a série é também chamado de uma série de Maclaurin, em homenagem Matemático escocês Colin Maclaurin.

Definição

A série de Taylor de uma reais ou complexos função f (x) que é infinitamente diferenciável numa bairro de uma verdadeira ou complexo número um, é a série de potência

f (a) + \ frac {f '(a)} {1!} (xa) + \ frac {f' '(a)} {2!} (XA) ^ 2 + \ frac ^ {f {(3 )} (a)} {3!} (xa) + ^ 3 \ cdots \ ,,

que de uma forma mais compacta pode ser escrito como

\ Sum_ {n = 0} ^ {\ infin} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (Xa) ^ {n} \ ,,

em que n! é o fatorial de n e f (n) (a) indica o enésimo derivado de f no ponto A; o derivado de zero da f é definido para ser f si e (x - a) 0 e 0! são ambos definidos para ser 1.

Muitas vezes f (x) seja igual à sua série de Taylor avaliados em x para todos os x suficientemente perto de um. Esta é a principal razão pela qual série de Taylor são importantes.

No caso particular onde a = 0 , A série é também chamado de uma série de Maclaurin.

Exemplos

A série de Maclaurin para qualquer polinómio é o próprio polinomial.

A série de Maclaurin para (1-x) ^ {- 1} é o série geométrica

1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots \!

de modo que a série de Taylor para x ^ {- 1} em a = 1 é

1- (x-1) + (x-1) ^ 2- (x-1) ^ 3 + \ cdots \! .

Ao integrar a série Maclaurin acima, encontramos a série Maclaurin para - \ Ln (1 - x) \! , Onde \ Ln \! denota o logaritmo natural :

x + \ frac {x ^ 2 + 2} \ frac {x ^ 3} 3+ \ frac {x ^ 4} 4+ \ cdots \!

e a série de Taylor correspondentes de \ Ln (x) \! em a = 1 \! é

(X-1) - \ frac {(x-1) ^ 2 + 2} \ frac {(x-1) ^ 3} 3- \ frac {(x-1) ^ 4} 4+ \ cdots \! .

A série de Maclaurin para a função exponencial e ^ x em a = 0 é

1 + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ Frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + \ cdots \ qquad = \ qquad 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 4} {24} + \ frac {x ^ 5} {120} + \ cdots \! .

A expansão acima é porque o derivado de e ^ x é também e ^ x e e ^ 0 é igual a 1. Isso deixa os termos (X-0) ^ n no numerador e n! no denominador para cada termo da soma infinita.

Convergência

A função seno (azul) está intimamente aproximada por seu polinômio de Taylor de grau 7 (rosa) por um período integral centrado na origem.
Os polinômios de Taylor para o log (1 + x) só fornecem aproximações precisas no intervalo -1 <x ≤ 1. Note-se que, para x> 1, os polinômios Taylor de grau mais elevado são piores aproximações.

A série de Taylor não precisa, em geral, ser um série convergente, mas muitas vezes é. O limite de uma série de Taylor convergentes não precisa em geral ser igual ao valor da função f (x), mas muitas vezes é. Se f (x) seja igual à sua série de Taylor de uma de um bairro, diz-se ser analítica neste bairro. Se f (x) seja igual à sua série de Taylor é chamada em todos os lugares toda. A função exponencial e ^ x e funções trigonométricas seno e cosseno são exemplos de funções inteiras. Exemplos de funções que não são de todo incluem o logaritmo , a função trigonométrica tangente, e o seu inverso arctan. Para estas funções a série de Taylor não fazer convergem se x está longe de ser um.

Uma série de Taylor pode ser usado para calcular o valor de uma função inteira em cada ponto, se o valor da função, e de todos os seus derivados, são conhecidos num único ponto. Usos da série de Taylor para funções inteiras incluem:

  1. As somas parciais (os polinómios de Taylor ) da série pode ser utilizada como aproximações de toda a função. Estas aproximações são suficientemente bom se muitos termos estão incluídos.
  2. A representação série simplifica muitas provas matemáticas .

Na foto à direita é uma aproximação precisa de sin (x) em torno do ponto a = 0. A curva cor de rosa é um polinômio de grau sete:

\ Sin \ left (x \ right) \ approx x - \ frac {x ^ 3} {! 3} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {7!} \! .

O erro nesta aproximação é não mais do que \ Tfrac {| x | ^ 9} {9!} \! . Em particular, para | X | <1 \! , O erro é inferior a 0,000003.

Em contraste, também é mostrada uma imagem da função de log (1 + x) e alguns dos seus polinómios de Taylor em torno de um = 0 Estas aproximações convergem para a função apenas na região -1 <x ≤. 1; fora dessa região os de grau superior polinômios Taylor são piores aproximações para a função. Este é um exemplo de O fenômeno de Runge.

O teorema de Taylor proporciona uma variedade de limites gerais sobre o tamanho do erro em R_ {n} (x) incorridos na aproximação de uma função por sua enésima ordem Taylor polinomial.

História

O Filósofo Pitágoras Zeno considerado o problema da soma uma série infinita de alcançar um resultado finito, mas rejeitou-a como uma impossibilidade: o resultado foi Paradoxo de Zenão. Mais tarde, Aristóteles propôs uma resolução filosófica do paradoxo, mas o conteúdo matemático foi aparentemente sem solução até ocupados por Demócrito e, em seguida, Arquimedes . Foi através de Arquimedes método de exaustão, que um número infinito de subdivisões progressivos pode ser realizada para alcançar um resultado trigonométrica finito. Liu Hui empregada de forma independente um método semelhante vários séculos mais tarde.

No século 14 , os primeiros exemplos do uso de série e estreitamente relacionados-métodos Taylor foram dadas por Madhava de Sangamagrama. Embora nenhum registro de seu trabalho sobrevive, escritos posteriores de matemáticos indianos sugerem que ele encontrou uma série de casos especiais da série de Taylor, incluindo aquelas para as funções trigonométricas de seno, cosseno, tangente , e arctangent. O Kerala escola de astronomia e matemática expandido suas obras com várias expansões em séries e aproximações racionais até o século 16 .

No século 17 , James Gregory também trabalhou nessa área e publicou várias séries de Maclaurin. Não foi até 1715, contudo, que um método geral para a construção destas série para todas as funções para as quais eles existem finalmente foi fornecida pela Brook Taylor, após os quais as séries estão agora nomeado.

A série de Maclaurin foi nomeado após Colin Maclaurin, um professor em Edimburgo, que publicou o caso especial do resultado Taylor, no século 18.

Propriedades

A função e -1 / x² não é analítica em x = 0: a série de Taylor é idêntica 0, embora a função não é.

Se esta série converge para cada x no intervalo (A - R, A + R) e a soma é igual a f (x), em seguida, a função f (x) é dito ser analítico no intervalo (A - R, A + R). Se isto é verdade para qualquer r, em seguida, a função é dito ser um função inteira. Para verificar se a série converge para f (x), que normalmente utiliza estimativas para o período remanescente do teorema de Taylor . Uma função é analítica Se e apenas se ela pode ser representada como uma série de potências ; os coeficientes da série de potências que são, então, necessariamente aqueles indicados na fórmula série de Taylor acima.

A importância de tal representação séries de potência é pelo menos quatro vezes. Em primeiro lugar, na diferenciação e integração de séries de potência pode ser executada termo a termo e é, portanto, particularmente fácil. Em segundo lugar, uma função analítica pode ser prorrogado exclusivamente para um função holomorfa definido em um disco aberta no plano complexo , o que torna toda a máquina do análise complexa disponível. Em terceiro lugar, a série (truncado) pode ser usado para calcular os valores da função de aproximadamente (muitas vezes através da fusão do polinomial para o Forma Chebyshev e avaliá-lo com a Clenshaw algoritmo).

Em quarto lugar, as operações algébricas muitas vezes pode ser feito muito mais facilmente sobre a representação série de potência; por exemplo, o mais simples de prova A fórmula de Euler usa as expansões de séries de Taylor para seno, cosseno, e funções exponenciais. Este resultado é de fundamental importância em áreas como análise harmônica.

Note-se que há exemplos de funções infinitamente diferenciável f (x), cuja série de Taylor convergem, mas não são iguais a f (x). Por exemplo, a função definida pontual por f (x) = e -1 / se x ≠ 0 e F (0) = 0 é um exemplo de um função suave não-analítica. Todos os seus derivados em x = 0 forem zero, então a série de Taylor de f (x) a 0 é zero em todos os lugares, mesmo que a função é diferente de zero para cada x ≠ 0. Esta patologia específica não aflige série de Taylor em análise complexa. Ali, a área de convergência de uma série de Taylor é sempre um disco no plano complexo (possivelmente com raio 0), e em que a série de Taylor converge, que converge para o valor da função. Observe que o e -1 / z ² não se aproxima de 0 quando z tende a 0 ao longo do eixo imaginário, portanto, esta função não é contínua como uma função no plano complexo.

Uma vez que cada sequência de números reais ou complexos podem aparecer como coeficientes da série de Taylor de uma função infinitamente diferenciável definido na linha real, o raio de convergência de uma série de Taylor pode ser zero. Há mesmo infinitamente funções diferenciáveis definidas na linha real, cujas séries de Taylor ter um raio de convergência 0 em todos os lugares.

Algumas funções não podem ser escritas como séries de Taylor porque eles têm um singularidade; nestes casos, pode-se muitas vezes ainda alcançar uma expansão em série se um permite também forças negativas da variável x; ver Série Laurent. Por exemplo, f (x) = e ^ {- 1 / x ^ 2} \! pode ser escrita como uma série de Laurent.

O Método Parker-Sochacki é um avanço recente em encontrar série de Taylor, que são soluções para equações diferenciais . Este algoritmo é uma extensão do Picard iteração.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns

A função cosseno.
Um grau de aproximação 8a da função co-seno, no plano complexo .
As duas curvas acima juntos.

Vários importantes expansões em série Maclaurin seguir. Todas estas expansões são válidos para argumentos complexos x \! .

Função exponencial :

\ Mathrm {e} ^ {x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ n} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots \ quad \ mbox {para todo} x \!

Logaritmo natural :

\ Ln (1-x) = - \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {x ^ n} n \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!

Finito série geométrica:

\ Frac {1-x ^ {m + 1}} {1-x} = \ sum ^ {m} _ {n = 0} x ^ n \ quad \ mbox {para} x \ not = 1 \ mbox {e } m \ in \ mathbb {N} _0 \!

Infinita série geométrica:

\ Frac {1} {1-x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} x ^ n \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!

Variantes da série geométrica infinita:

\ Frac {x ^ m} {1-x} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = m} x ^ n \ quad \ mbox {para} | x | <1 \ mbox {e} m \ in \ mathbb {N} _0 \!
\ Frac {x} {(1-x) ^ 2} = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} ^ nx n \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!

Raiz quadrada :

\ Sqrt {1 + x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {! (- 1) ^ n (2n)} {! (1-2n) n ^ 24 ^ n} x ^ n \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!

Série binomial (inclui a raiz quadrada para α = 1/2 ea série geométrica infinita para α = -1):

(1 + x) ^ \ alpha = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {\ alpha \ escolher n} x ^ n \ quad \ mbox {para todo} | x | <1 \ mbox {e todo complexo} \ alpha \!
com generalizadas coeficientes binomial
{\ Alfa \ escolher n} = \ Prod_ {k = 1} ^ n \ frac {\ alfa-k + 1 k} = \ frac {\ alfa (\ alfa-1) \ cdots (\ alfa-n + 1) } {n!} \!

Funções trigonométricas :

\ Sin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {! (2n + 1)} {x ^ 2 N + 1} \ quad = x - \ frac { ! x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} - \ cdots \ mbox {para todo} x \!
\ Cos x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {(2m)!} X ^ {2n} \ quad = 1 - \ frac {x ^ 2} {! 2} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ cdots \ mbox {para todo} x \!
\ Tan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} (-4) ^ n (1-4 ^ n)} {(2m)!} {X ^ 2 N-1 } \ quad = x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {2 x ^ 5} {15} + \ cdots \ mbox {para} | x | <\ frac {\ pi} {2} \ !
onde o B s são Números de Bernoulli.
\ Sec x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n E_ {2n}} x ^ {2n} \ quad \ mbox {para} {(2m)!} | x | <\ frac {\ pi} {2} \!
\ Arcsin x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(2m)!} {4 ^ n (n!) ^ 2 (2n + 1)} {x ^ 2 N + 1} \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!
\ Arctan x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} {x ^ 2 N + 1} \ quad \ mbox {para} | x | \ le 1 \!

Funções hiperbólicas:

\ Sinh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} \ Quad \ mbox {para todo} x \!
\ Cosh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n}} {(2m)!} \ Quad \ mbox {para todo} x \!
\ Tanh x = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {B_ {2n} 4 ^ n (4 ^ n-1)} {(2m)!} {X ^ 2m-1} \ quad \ mbox {para} | x | <\ frac {\ pi} {2} \!
\ Mathrm {arcsinh} (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {! (- 1) ^ n (2n)} {4 ^ n (! N) ^ 2 (2n + 1 )} x ^ {2n + 1} \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!
\ Mathrm {arctanh} (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 0} \ frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1} \ quad \ mbox {para} | x | <1 \!

W função de Lambert:

W_0 (x) = \ sum ^ {\ infin} _ {n = 1} \ frac {(- n) ^ {n-1}} {n!} X ^ n \ quad \ mbox {para} | x | < \ frac {1} {\ mathrm {e}} \!

Os números B_k \! aparecendo nas expansões somatório de tan (x) e tanh (x) é a Números de Bernoulli. O E_k \! na expansão de seg (x) são Números de Euler.

Cálculo da série de Taylor

Existem vários métodos para o cálculo da série de Taylor de uma grande número de funções. Pode-se tentar usar a série de Taylor como-é e generalizar a forma de coeficientes, ou pode-se usar manipulações, como substituição, multiplicação ou divisão, adição ou subtração de série Taylor padrão para construir a série de Taylor de uma função, por força da série de Taylor sendo série de potência. Em alguns casos, também se pode derivar a série de Taylor, aplicando repetidamente integração por partes. Particularmente conveniente é o uso de sistemas de álgebra computacional para calcular séries de Taylor.

Primeiro exemplo

Calcule o grau Maclaurin polinomial para a função

f (x) = \ ln \ cos x, \ quad x \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2) \! .

Primeiro, reescrever a função como

f (x) = \ ln (1 + (\ cos x-1)) \! .

Temos para o logaritmo natural (usando o notação O grande)

\ Ln (1 + x) = x - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 3} 3 + \ mathcal {O} (x ^ 4) \!

e para a função co-seno

\ Cos x - 1 = - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \!

A última série de expansão tem um zero termo constante, o que nos permite substituir a segunda série para o primeiro e para omitir facilmente termos de ordem mais elevada do que o grau usando a notação O grande:

\ Begin {align} f (x) & = \ ln (1 + (\ cos x-1)) \\ & = \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) - \ frac12 \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) ^ 2 + \ frac13 \ bigl (\ cos x-1 \ BIGR) ^ 3 + \ mathcal {O} \ bigl ((\ cos x-1) ^ 4 \ BIGR) \\ & = \ biggl (- \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} +\mathcal{O}(x^8)\biggr)-\frac12\biggl(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+\mathcal{O}(x^6)\biggr)^2+\frac13\biggl(-\frac{x^2}2+\mathcal{O}(x^4)\biggr)^3 + \ Mathcal {O} (x ^ 8) \\ & = - \ frac {x ^ 2} 2 + \ frac {x ^ 4} {24} - \ frac {x ^ 6} {720} - \ frac { x ^ 4} 8 + \ frac {x ^ 6} {48} - \ frac {x ^ 6} {24} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \\ & = - \ frac {x ^ 2} 2 - \ frac {x ^ 4} {12} - \ frac {x ^ 6} {45} + \ mathcal {O} (x ^ 8) \ end {align} \.!

Uma vez que o co-seno de um mesmo função, os coeficientes para todos os poderes x impar, x 3, 5 x, x 7,. . . tem que ser zero.

Segundo exemplo

Suponha que queremos que a série de Taylor em 0 da função

g (x) = \ frac {x} e ^ {\ cos x} \! .

Temos para a função exponencial

e ^ x = \ sum ^ \ infty_ {n = 0} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 4 \ mais de 4!} + \ cdots \!

e, como no primeiro exemplo,

\ Cos x = 1 - {x ^ 2 \ over 2!} + {X ^ 4 \ over 4!} - \ Cdots \!

Assuma a série de potência é

{E ^ x \ over \ cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + c_3 x ^ 3 + \ cdots \!

Em seguida multiplicação com o denominador e substituição da série dos rendimentos cosseno

\ Begin {align} e ^ x & = (c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + c_3 x ^ 3 + \ cdots) \ cos x \\ & = \ left (c_0 + c_1 x + c_2 x ^ 2 + c_3 x ^ 3 + 4 + c_4x ^ \ cdots \ right) \ left (1 - {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 4 \ over 4!} - \ cdots \ right) = \\ & c_0 - { c_0 \ over 2} x ^ 2 + {c_0 \ over 4} x ^ 4 + c_1x - {c_1 \ over 2} x ^ 3 + {c_1 \ over 4} x ^ 5 + c_2x ^ 2 - {c_2 \ mais de 2} x ^ 4 + {c_2 \ over 4} x ^ 6 + c_3x ^ 3 - {c_3 \ over 2} x ^ 5 + {c_3 \ over 4} x ^ 7 + \ cdots \ end {align} \!

Coletando os termos até quarta rendimentos ordem

= C_0 + c_1x + \ left (c_2 - {c_0 \ over 2} \ right) x ^ 2 + \ left (c_3 - {c_1 \ over 2} \ right) x ^ 3 + \ left (c_4 + {c_0 \ over 4 !} - {c_2 \ over 2} \ right) x ^ 4 + \ cdots \!

Comparando coeficientes com a série acima da função exponencial produz a série de Taylor desejado

\ frac {x} e ^ {\ cos x} = 1 + x + x ^ 2 + 2x {^ 3 \ over 3} + {x ^ 4 \ over 2} + \ cdots \! .

Série de Taylor como definições

Classicamente, as funções acima referidas são definidas por alguma propriedade que vale para eles. Por exemplo, a função exponencial é definida como a função que é igual ao seu próprio derivado. No entanto, em análise computável, funções devem ser definidas por algoritmos em lugar de propriedades, assim que as expansões de Taylor acima são usados como definições primárias em vez de resultados derivados. Este também é provável que seja o caso em implementações das funções do software.

Usando série de Taylor, pode-se definir as funções de análise de matrizes e operadores, como matriz exponencial ou logaritmo matriz.

Série de Taylor em várias variáveis

A série de Taylor podem também ser generalizados para funções de mais do que uma variável com

T (x_1, \ cdots, x_d) =
= \ Sum_ {n_1 = 0} ^ {\ infin} \ cdots \ sum_ {n_d = 0} ^ {\ infin} \ frac {\ ^ {} n_1 parcial} {\ x_1 parcial ^ {n_1}} \ cdots \ frac {\ partial ^ {}} {n_d \ x_d parcial ^ {n_d}} \ frac {f (a_1, \ cdots, a_d)} {n_1! \ cdots n_d!} (x_1-a_1) ^ {n_1} \ cdots ( x_d-a_d) ^ {n_d} \! .

Por exemplo, para uma função que depende de duas variáveis, x e y, a série de Taylor de segunda ordem em torno do ponto (a, b) é:

f (x, y) \!
\ Aprox f (a, b) + f_x (a, b) (X-a) + f_y (a, b) (Y-b) \!
+ \ Frac {1} {2!} \ Deixou [f_ {xx} (a, b) (Xa) 2 + ^ 2f_ xy} {(a, b) (Xa) (YB) + f_ {yy} (um , b) (YB) ^ 2 \ right] \!

onde os subscritos indicam o respectivo derivadas parciais.

Uma segunda ordem Taylor expansão em série de uma função de valor escalar de mais do que uma variável pode ser escrito como compactamente

T (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {a}) + \ mathrm {D} f (\ mathbf {a}) ^ T (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + \ frac { 1} {2} (\ mathbf {x} - \ mathbf {a})! ^ T \ mathrm {D} ^ 2 f (\ mathbf {a}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) + \ cdots \!

onde D f (\ mathbf {a}) \! é o gradiente e D ^ 2 f (\ mathbf {a}) \! é o Matriz de Hessian. Aplicando o notação multi-índice a série de Taylor para diversas variáveis torna-se

T (\ mathbf {x}) = \ sum_ {| \ alpha | \ ge 0} ^ {} {\ frac {\ mathrm {D} ^ {\ alpha} f (\ mathbf {a})} {\ alpha! } (\ mathbf {x} - \ mathbf {a}) ^ {\ alpha}} \!

em analogia completa com o caso variável única.

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