Toro
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Em geometria , um toro (pl. tori) é um superfície de revolução gerada pela rotação de um círculo no espaço tridimensional sobre um eixo coplanar com o círculo. Se o eixo de revolução não toca o círculo, a superfície tem uma forma de anel e é chamado um toro anel toro ou simplesmente se a forma de anel é implícito.
Quando o eixo é tangente ao círculo, a superfície resultante é chamado um toro buzina; quando o eixo é uma corda do círculo, ele é chamado de um toro de fuso. A caso degenerado é quando o eixo é de um diâmetro do círculo, que gera simplesmente a superfície de uma esfera . O toro anel circunda um sólido conhecido como um toro. O adjectivo toroidal pode ser aplicado a tori, toros ou, mais geralmente, qualquer forma de anel como em indutores e transformadores toroidais. Exemplos do mundo real de (cerca de) objetos toroidais incluem donuts, vadais, câmaras de ar, bagels, muitos bóias salva-vidas, O-rings e anéis de vortex.
Em topologia , um toro anel é homeomorfo ao cartesiano produto de dois círculos : S 1 × S 1, e este último é levado para ser a definição nesse contexto. É um compacto 2-colector de gênero 1. O toro anel é uma maneira de incorporar este espaço em espaço euclidiano , mas uma outra maneira de fazer isso é o produto cartesiano da incorporação de S 1 no plano. Isto produz um objecto geométrico chamado Clifford toro, superfície em 4-espaço.
A palavra vem do toro Latina significado da palavra almofada.
Geometria
Um toro pode ser definida parametricamente por:
onde
- θ, φ são os ângulos que fazem um círculo completo, começando em 0 e terminando no 2π, de modo que seus valores começar e terminar no mesmo ponto,
- R é a distância do centro do tubo para o centro do toro,
- r é o raio do tubo.
R e R também são conhecidas como o "raio maior" e "menor raio", respectivamente. A razão entre os dois é conhecido como o " relação de aspecto ". Um donut tem uma relação de cerca de 2 a 3.
Um equação implícita em coordenadas cartesianas para um toro radialmente simétrica sobre o z - é eixo
ou a solução de f (x, y, z) = 0, onde
Algebricamente eliminando a raiz quadrada dá uma equação quártica,
As três classes diferentes de toros padrão correspondem às três possíveis tamanhos relativos de R e R. Quando R> r, a superfície irá ser o toro anel familiar. O caso R = r corresponde aos toro chifre, que na verdade é um toro sem "buraco". O caso R <r descreve os toro fuso auto-interseção. Quando R = 0, o toro degenera para a esfera.
O área de superfície e no interior do volume desta toro são facilmente calculado usando Centroid doação teorema de Pappus
Estas fórmulas são os mesmos que para um cilindro de comprimento 2π R e raio r, criado pelo corte do tubo e desenrolando-o por endireitar a linha que passa em torno do centro do tubo. As perdas na área de superfície e volume, no lado interior do tubo exactamente cancelar os ganhos no lado exterior.
Como um toro é o produto de dois círculos, uma versão modificada do sistema de coordenadas esférica é por vezes usada. Em esférica tradicional coordenadas existem três medidas, r, a distância a partir do centro do sistema de coordenadas e ângulos θ e φ, medidos a partir do ponto central. Como um toro tem, efectivamente, dois pontos centrais, os pontos centrais dos ângulos são movidos; φ mede o mesmo ângulo como o faz no sistema esférica, mas é conhecida como a direcção "toroidal". O ponto central de θ é movida para o centro de r, e é conhecida como a direcção "poloidais". Esses termos foram usados pela primeira vez em uma discussão sobre o campo magnético da Terra, onde "poloidal" foi utilizado para designar "a direção para os pólos". No uso moderno esses termos são mais comumente usado para discutir dispositivos de fusão por confinamento magnético.
Topologia
Topologicamente , um toro é um fechada definida como a superfície produto de dois círculos : S 1 × S 1. Isto pode ser visto como estando em C 2 e é um subconjunto da 3-esfera S 3 de raio √2. Este toro topológica também é frequentemente chamado de Clifford toro. Na verdade, S 3 preenchido por uma família de tori aninhada desta maneira (com dois círculos degeneradas), o que é importante no estudo da S 3 como um feixe de fibras ao longo do S 2 (o Hopf bundle).
A superfície descrito acima, dado o topologia em relação a R 3, é homeomorfos a um toro topológica contanto que não intersecta o seu próprio eixo. Um homeomorfismo especial é dada por estereograficamente projetando o toro topológico em R 3 a partir do pólo norte de S 3.
O toro também pode ser descrito como um quociente entre o plano cartesiano sob as identificações
- (X, y) ~ (x 1, y) ~ (x, y + 1).
Ou, de forma equivalente, como o quociente entre o unidade quadrado, colando as extremidades opostas em conjunto, descrito como um fundamentais ABA polígono -1 B-1.
O grupo fundamental do toro é apenas o produto direto do grupo fundamental do círculo com ele mesmo:
Intuitivamente falando, isto significa que um fechada caminho que circunda o toro '"buraco" (digamos, um círculo que traça uma latitude particular) e, em seguida, circula o toro' "corpo" (por exemplo, um círculo que traça uma longitude particular) pode ser deformada para um caminho que círculos o corpo e, em seguida, o furo. Então, estritamente 'latitudinal' e estritamente caminhos '' longitudinais trajeto. Isso pode ser imaginado como dois cadarços passando por uns aos outros, então desenrolar, em seguida, rebobinar.
Se um toro é perfurado e virado do avesso depois mais resultados toro, com linhas de latitude e longitude trocados.
O primeiro grupo de homologia do toro é isomorphic ao grupo fundamental (o que decorre do Hurewicz teorema desde que o grupo fundamental é abelian).
Tampa Dois-sheeted
O 2-toro duplo cobre a 2-esfera, com quatro Os pontos de ramificação. Cada estrutura conformada em 2 a-toro pode ser representada como uma tampa em forma de folha de duas-a-duas esfera. Os pontos sobre os toro correspondentes aos pontos de ramificação são o Pontos de Weierstrass. De facto, o tipo conformado do toro é determinada pela cruzada proporção dos quatro pontos.
n toro -dimensionais
O toro tem uma generalização para dimensões maiores, o toro n - dimensional, muitas vezes chamado de n - toro ou hypertorus para breve. (Este é um dos dois diferentes significados do termo "n -torus".) Recordando que o toro é o espaço de produto de dois círculos, o toro n-dimensional representa o produto de n círculos. Isto é:
O toro discutido acima é o toro 2-dimensional. O toro 1-dimensional é apenas o círculo. Da mesma forma que para o 2-toro, o n -torus pode ser descrito como um quociente de Rn sob turnos integrais em qualquer coordenada. Ou seja, o n -torus R é n o modulo acção do inteiro Z n estrutura (com a ação a ser tomada como adição de vetores). De forma equivalente, o n -torus é obtido a partir do n-dimensional hipercúbica por colagem a faces opostas em conjunto.
Um -torus n, nesse sentido, é um exemplo de um n-dimensional compacto colector . Também é um exemplo de um compacto abelian Grupo de Lie. Isso decorre do fato de que o círculo unidade é um grupo de Lie compacto abelian (quando identificado com a unidade de números complexos com multiplicação). Multiplicação grupo sobre o toro é, então, definido pela multiplicação coordenar-wise.
Toroidal grupos desempenham um papel importante na teoria da grupos de Lie compactos. Isto é devido em parte ao fato de que, em qualquer grupo de Lie compacto G pode-se sempre encontrar um toro máxima; isto é, um fechado subgrupo que é um toro de a maior dimensão possível. Essa máxima tori T têm um papel a desempenhar no controle teoria do G conectado.
Automorfismos de T são facilmente construídos a partir de automorphisms da rede Z n, que são classificados por integrante matrizes M de tamanho N x N que são invertível com inversa integral; estes são apenas o M integrante determinante +1 ou -1. Fazendo M ato em R n da forma habitual, tem-se a automorphism toral típico no quociente.
O grupo fundamental de um n -torus é um grupo abeliano livre de posto n. O k -ésimo grupo de homologia de um n -torus é um grupo abeliano livre de posto n escolha k. Segue-se que a característica de Euler do -torus n é 0 para todos os n. O anel cohomología H • (t n, Z) podem ser identificados com o álgebra exterior sobre o Z - módulo Z n cuja geradores são os duos dos ciclos n não triviais.
Espaço de configuração
Como o -torus n é o produto de n vezes de círculo, o n é o -torus espaço de configuração de n ordenado, não necessariamente distintos pontos sobre o círculo. Simbolicamente, T n = (S 1) n. O espaço de configuração de pontos desordenados, não necessariamente distintos é, portanto, a orbifold t n / S n, que é o quociente entre o toro pela grupo simétricos em n letras (permutando as coordenadas).
Para n = 2, o quociente é o Fita de Moebius, a borda correspondente aos pontos orbifold onde coincidem as duas coordenadas. Para n = 3 este quociente pode ser descrito como um toro sólido com uma secção transversal triângulo equilátero, com uma torção; equivalentemente, como um prisma triangular cujas faces superior e inferior estão ligados com uma torção ⅓ (120 °): as interiores corresponde 3-dimensionais para os pontos no-3 toro, onde todas as três coordenadas são distintas, a face 2-dimensional corresponde a pontos com duas coordenadas igual e diferente o terceiro, enquanto a borda 1-dimensional corresponde a pontos com todas as 3 coordenadas idênticos.
Estes orbifolds encontraram significativa aplicações à teoria da música no trabalho de Dmitri Tymoczko e colaboradores (Felipe Posada e Michael Kolinas, et al.), que está sendo usado para modelar tríades musicais.
Toro planas
O toro plano é um toro com a métrica herdado de sua representação como a quociente, R2 / Z 2, do plano cartesiano sob as identificações (x, y) ~ (x 1, y) ~ (x, y + 1). Isto dá-lhe a estrutura de um Variedade de Riemann.
Esta métrica também pode ser realizada por incorporações específicas da familiarizados 2-toro em euclidiana 4-espaço ou dimensões superiores. A sua superfície tem zero Curvatura Gaussian em todos os lugares. A sua superfície é "plana" no mesmo sentido em que a superfície de um cilindro é "plana". Em três dimensões pode dobrar uma folha plana de papel em um cilindro sem esticar o papel, mas não pode, em seguida, dobre este cilindro em um toro sem esticar o papel (a menos que você desistir de algumas condições de regularidade e diferenciabilidade, veja abaixo). Em quatro dimensões se pode (matematicamente).
Um simples 4 -d incorporação Euclidiana é como se segue: <x, y, z, w> <r = cos (u), R sin (u), cos p (v), P sen (v)> em que R e P são constantes que determinam a relação de aspecto. É difeomórfico de um toro regular, mas não isométrica. Não pode ser incorporado em isometrically euclidiana 3-espaço. Mapeá-lo em três -espaço exige que você esticá-lo, caso em que ele se parece com um toro regular, por exemplo, o seguinte mapa <x, y, z> = <(R + P pecado (v)) cos (u) , (R + P sen (v)) sin (u), cos p (v)>.
A partições planas toro os 3-esfera em dois subconjuntos tori sólidos congruente com a superfície plana toro acima mencionado como seu comum limite.
Recentemente (Abril de 2012), uma incorporação de um toro plano em três dimensões foi encontrado. Ela é semelhante em estrutura a um fractal como é construído por ondulação repetidamente um toro normal. Como fractais, não tem definido curvatura Gaussian. No entanto, ao contrário de fractais, ele tem definido normais de superfície.
n toro fold
Na teoria de superfícies existe um outro objeto, o toro n fold. Em vez de o produto de n círculos, um toro n é a vezes de soma conectado de n tori 2-dimensional. Para formar um montante ligado de duas superfícies, remover o interior de cada um disco e "cola" as superfícies em conjunto ao longo de círculos contorno dos discos. Para formar a soma conectado de mais de duas superfícies, soma dois deles em um tempo até que eles estão todos conectados. Neste sentido, um n -torus se assemelha a superfície de anéis de espuma n coladas lado a lado, ou um 2-dimensional esfera com n alças anexadas.
Um toro comum é um toro 1 vezes, um toro de 2 vezes é chamado um toro de casal, 3 vezes um toro toro triplos, e assim por diante. O toro n fold é dito ser um " superfície orientável "de" gênero "n, o gênero sendo o número de identificadores. O toro 0 vezes é o 2-dimensional esfera .
O teorema de classificação para superfícies afirma que cada compacto superfície ligado ou é uma esfera, uma vezes de toro n com n> 0, ou a soma de n ligado planos projetivos (isto é, aviões projetivas sobre os números reais ), com n> 0.
 toro duplo |  toro triplo |
Toroidal poliedros
Poliedros com o tipo topológica de um toro são chamados poliedros toroidal, e satisfazer uma versão modificada da fórmula poliedro , E - F - V = 0.
O termo "polydron toroidal" também é utilizado para maior poliedros género e para imersões de poliedros toroidal.
Automorphisms
O homeomorphism grupo (ou subgrupo de Difeomorfismos) do toro é estudada topologia geométrica. Sua grupo classe de mapeamento (o grupo de componentes ligados entre si) é isomorfo para o grupo GL (n, Z) de matrizes inversibles inteiros, e pode ser realizado como mapas lineares no espaço cobertura universal que R n preservar a malha padrão Z n (isto corresponde para coeficientes inteiros) e assim descer para o quociente.
Ao nível da homotopia e homologia, o grupo de classe de mapeamento pode ser identificado como a ação no primeiro homologia (ou equivalentemente, primeiro cohomology, ou no grupo fundamental, pois estes são todos naturalmente isomorfos; Observe também que o primeiro grupo cohomology gera a álgebra cohomology):
Uma vez que o toro é um Eilenberg-MacLane espaço K (G, 1), as suas equivalências de homotopia, até homotopia, pode ser identificado com automorphisms do grupo fundamental); que este está de acordo com o grupo de classe de mapeamento reflete que todas as equivalências homotopia pode ser realizado por homeomorfismos - cada equivalência de homotopia é homotópico a um homeomorfismo - e que homeomorfismos homotópicos são de fato isotópica (conectado por meio de homeomorfismos, não apenas através de equivalências homotopia). Mais concisamente, o mapa Homeo (T n) → SHE (T n) é 1-conectado (isomorphic no caminho-componentes, para grupo fundamental). Este é um "homeomorphism reduz a homotopia reduz a álgebra" resultado.
Assim, o sequência exacta curta do grupo de classe mapeamento divide (uma identificação do toro como o quociente de R n dá uma separação, por meio de mapas lineares, como acima):
de modo que o grupo homeomorfismo do toro é um produto semidireto,
O grupo de classe de mapeamento de superfícies de gênero mais elevados é muito mais complicado, e uma área de pesquisa ativa.
Colorir um toro
Se um toro é dividido em regiões, então é sempre possível colorir as regiões com não mais de sete cores de modo que as regiões vizinhas têm cores diferentes. (Compare com o teorema de quatro cores para o plano .)
Cortar um toro
Um toro padrão (especificamente, um toro anel) podem ser cortados com n planos em no máximo
peças.
Os termos iniciais desta seqüência de n a partir de 1 são:
- 2, 6, 13, 24, 40, ... (sequência A003600 em OEIS ).
