Conteúdo verificado

Triângulo

Assuntos Relacionados: Matemática

Fundo para as escolas Wikipédia

Crianças SOS têm produzido uma seleção de artigos da Wikipedia para escolas desde 2005. SOS Criança patrocínio é legal!

Um triângulo é um dos princípios básicos formas de geometria : um polígono com três cantos ou vértices e três lados ou arestas que são segmentos de linha.

Em Geometria Euclidiana quaisquer três não- pontos colineares determinar um triângulo único e um único plano (ou seja bidimensional espaço cartesiano ).

Um triângulo.

Tipos de triângulos

Triângulos podem ser classificados de acordo com os comprimentos relativos dos seus lados:

  • Numa triângulo equilátero, todos os lados são de igual comprimento. Um triângulo equilátero é também um polígono equiangular, ou seja, todos os seus internos ângulos são iguais, ou seja, 60 °; é um polígono regular.
  • Em um triângulo isósceles, os dois lados têm o mesmo comprimento (originalmente e convencionalmente limitado a exatamente dois). Um triângulo isósceles também tem dois ângulos iguais: os ângulos opostos dos dois lados iguais.
  • Em um triângulo escaleno, todos os lados têm comprimentos diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno são todos diferentes.
Triângulo Equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno
Equilátero Isósceles Escaleno

Triângulos também podem ser classificados de acordo com os seus ângulos internos, descritos a seguir utilizando graus de arco:

  • A triângulo retângulo (ou triângulo retângulo, anteriormente chamado de um triângulo Rectangled) tem um ângulo de 90 ° interno (um ângulo reto ). O lado oposto ao ângulo reto é o hipotenusa; é o lado mais longo do triângulo retângulo. Os outros dois lados são as pernas ou catetos (singular: cateto) do triângulo.
  • Um triângulo oblíquo tem nenhum ângulo interno igual a 90 °.
  • Um triângulo obtuso é um triângulo com um ângulo oblíquo interno maior do que 90 ° (um ângulo obtuso ).
  • Um triângulo aguda é um triângulo oblíquo com ângulos internos todos menores que 90 ° (três ângulos agudos ). Um triângulo equilátero é um triângulo aguda, mas nem todos os triângulos agudas são de triângulo equilátero.


Triângulo retângulo Triângulo obtuso Triângulo aguda
Direito Obtuso Agudo
\ Underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}
Oblíquo

Fatos básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de seus elementos em torno de 300 BCE. Um triângulo é um polígono e um grupo 2- simplex (ver polytope). Todos os triângulos são dois dimensional.

Os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Um ângulo exterior de um triângulo (um ângulo que é adjacente e complementar a um ângulo interno) é sempre igual para os dois ângulos de um triângulo que não é adjacente / suplementar para. Como todos polígono convexo, os ângulos exteriores de um triângulo adicionar até 360 graus.

A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo sempre excede o comprimento do terceiro lado. Essa é a da desigualdade do triângulo. (No caso especial da igualdade, dois dos ângulos entraram em colapso ao tamanho zero, eo triângulo se degenerou para um segmento de linha.)

Dois triângulos são referidos como sendo semelhante, se e apenas se os ângulos de um são iguais aos ângulos correspondentes do outro. Neste caso, os comprimentos dos seus lados correspondentes são proporcional. Isto ocorre por exemplo quando duas partes triângulos um ângulo e os lados opostos, para que o ângulo são paralelos.

Há alguns postulados básicos e teoremas sobre triângulos semelhantes:

  • Dois triângulos são semelhantes se, pelo menos, dois ângulos correspondentes forem iguais.
  • Se dois lados correspondentes de dois triângulos estão em proporção, e os seus ângulos inclusos são iguais, os triângulos são semelhantes.
  • Se os três lados de dois triângulos são proporcionais, os triângulos são semelhantes.

Por dois triângulos para ser congruente, cada um dos seus ângulos e lados correspondentes deve ser igual (6 total). Há alguns postulados básicos e teoremas sobre triângulos congruentes:

  • SAS Postulado: Se dois lados e os ângulos incluídos de dois triângulos são proporcionalmente iguais, os dois triângulos são congruentes.
  • SSS Postulado: Se cada lado de dois triângulos são proporcionalmente iguais, os triângulos são congruentes.
  • ASA Postulado: Se dois ângulos e lados incluídos de dois triângulos são proporcionalmente iguais, os dois triângulos são congruentes.
  • AAS Teorema: Se dois ângulos e qualquer lado de dois triângulos são proporcionalmente iguais, os dois triângulos são congruentes.
  • Hipotenusa-Leg Teorema: Se os hipotenusa e uma perna de dois triângulos retângulos são proporcionalmente iguais, os triângulos são congruentes.

Usando triângulos retângulos eo conceito de similaridade, o funções trigonométricas seno e co-seno pode ser definida. Estas são funções de um ângulo que são investigados em trigonometria .

Na geometria euclidiana, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 °. Isto permite a determinação do terceiro ângulo de qualquer triângulo, logo que dois ângulos são conhecidos.

O teorema de Pitágoras

Um teorema central é o teorema de Pitágoras , que afirma em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento do hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados. Se a hipotenusa tem comprimento c, e as pernas têm comprimentos a e b, então as teorema que

a ^ 2 + b = c ^ 2 ^ 2 \,

O inverso é verdadeiro: se os comprimentos dos lados de um triângulo satisfazer a equação acima, em seguida, o triângulo é um triângulo rectângulo.

Alguns outros fatos sobre triângulos retângulos:

  • Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementar.
  • Se as pernas de um triângulo rectângulo forem iguais, então os ângulos opostos as pernas são iguais, aguda e complementares, e, portanto, são ambos de 45 graus. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da hipotenusa é a raiz quadrada de dois vezes o comprimento de uma perna.
  • Em um triângulo rectângulo 30-60, em que os ângulos agudos medir 30 e 60 graus, a hipotenusa é duas vezes o comprimento do lado mais curto.
  • Em todos os triângulos direitos, a mediana da hipotenusa é a metade da hipotenusa.

Para todos os triângulos, ângulos e lados estão relacionados pela lei dos cossenos e lei dos senos.

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Há centenas de diferentes construções que encontrar um ponto especial dentro de um triângulo, satisfazendo alguma propriedade única: consulte a seção referências para um catálogo deles. Muitas vezes, eles são construídos por encontrar três linhas associadas de forma simétrica com os três lados (ou vértices) e, em seguida, provando que as três linhas se encontram em um único ponto: uma ferramenta importante para provar a existência destes é Teorema de Ceva, o que dá um critério para determinar quando essas três linhas são simultâneo. Da mesma forma, as linhas associadas com um triângulo são muitas vezes construídos por provar que três pontos são construídos simetricamente collinear: aqui Teorema de Menelau dá um critério geral útil. Neste ponto apenas algumas das construções mais comumente encontrados são explicados.

O circumcenter é o centro de um círculo que passa através dos três vértices do triângulo.

A mediatriz de um triângulo é uma linha reta que passa pelo ponto médio de um lado e perpendicular a ele, ou seja, formando um ângulo reto com ele. Os três mediatrizes se encontram em um único ponto, do triângulo circumcenter; este ponto é o centro do circumcircle, o círculo passando por todos os três vértices. O diâmetro do círculo pode ser encontrado a partir da lei dos senos indicado acima.

O teorema de Thales implica que, se o circumcenter está localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto é um direito. Mais é verdade: se o circumcenter está localizado no interior do triângulo, em seguida, o triângulo é aguda; Se o circumcenter está localizado fora do triângulo, em seguida, o triângulo é obtuso.

A intersecção das altitudes é a orthocenter.

Um altitude de um triângulo é uma linha reta através de um vértice e perpendicular (ou seja, formando um ângulo reto com) no lado oposto. Este é chamado o lado oposto da base da altitude, e o ponto em que a altitude atravessa a base (ou a sua extensão) é chamado o da altura. O comprimento da altitude é a distância entre a base e o vértice. Os três alturas se intersectam num ponto único, denominado ortocentro do triângulo. O ortocentro encontra-se no interior do triângulo, se e apenas se o triângulo é aguda. Os três vértices, juntamente com o orthocenter são ditas para formar um sistema orthocentric.

O ponto de intersecção das bissectriz encontra no centro do incircle.

Um bissetriz de um triângulo é uma linha reta através de um vértice que corta o ângulo correspondente ao meio. Os três bissetrizes se cruzam em um ponto único, a incentro, o centro do triângulo de incircle. O incircle é o círculo que se encontra no interior do triângulo e toca todos os três lados. Existem três outros círculos importantes, o excircles; eles ficam fora do triângulo e tocar um lado, bem como as extensões dos outros dois. Os centros da in- e excircles formar um sistema orthocentric.

O baricentro é o centro de gravidade.

A mediana de um triângulo é uma linha recta através de um vértice e o ponto médio do lado oposto, e divide o triângulo em duas áreas iguais. Os três medianas intersectam num ponto, o triângulo de centróide. Este é também o triângulo de centro de gravidade : se o triângulo eram feitas de madeira, por exemplo, você poderia equilibrá-lo em seu centróide, ou em qualquer linha através do centróide. O centróide corta cada mediano na proporção de 2: 1, ou seja, a distância entre um vértice e o centróide é duas vezes tão grande como a distância entre o centróide e o ponto médio do lado oposto.

Nove pontos círculo demonstra uma simetria onde seis pontos ficam na beira do triângulo.

Os pontos médios dos três lados e os pés dos três altitudes todos encontram-se em um único círculo, o triângulo de círculo de nove pontos. Os restantes três pontos para os quais é nomeado são os pontos médios da porção de altitude entre os vértices e o orthocenter. O raio do círculo de nove pontos é metade da circunferência circunscrita. Ele toca o incircle (no Ponto de Feuerbach) e os três excircles.

Linha de Euler é uma linha reta através do centróide (laranja), orthocenter (azul), circumcenter (verde) e centro do círculo de nove pontos (vermelho).

O baricentro (amarelo), orthocenter (azul), circumcenter (verde) e baricentro do círculo de nove pontos (ponto vermelho) tudo mentira em uma única linha, conhecida como Linha de Euler (linha vermelha). O centro do círculo de nove pontos encontra-se no ponto médio entre o orthocenter e o circumcenter, e a distância entre o centróide e o circumcenter é metade que entre o centróide e o orthocenter.

O centro da circunferência inscrita não está em geral localizada na linha de Euler.

Se um reflecte um mediano no bissector do ângulo que passa através do mesmo vértice, obtém-se um symmedian. Os três symmedians se intersectam num ponto único, o symmedian ponto do triângulo.

Calculando a área de um triângulo

Calcular a área de um triângulo é um problema fundamental encontrado frequentemente em muitas situações diferentes. A fórmula mais conhecido e mais simples é

S = \ frac {1} {2} bh

onde S é a área, b é o comprimento da base do triângulo, e h é a altura ou a altura do triângulo. O termo "base" designa qualquer lado, e "altura" indica o comprimento de uma perpendicular a partir do lado oposto ao lado para o próprio lado.

Embora simples, esta fórmula só é útil se a altura pode ser facilmente encontrado. Por exemplo, o inspector de uma área triangular mede o comprimento de cada lado, e encontra a área dos seus resultados sem ter que construir uma "altura". Vários métodos podem ser usados na prática, de acordo com o que se conhece sobre o triângulo. A seguir está uma seleção de fórmulas usadas com freqüência para a área de um triângulo.

Usando vectores

A área de um paralelogramo pode ser calculada utilizando vectores . Deixe vectores AB e AC, respectivamente, a partir de ponto A para B e de A a C. A área de paralelogramo ABCD é, em seguida, | AB × AC |, que é a magnitude do produto cruzado de vectores AB e AC. | AB × AC | é igual a | h × AC |, em que h representa a altura H, tal como um vector.

A área do triângulo ABC é a metade disso, ou S = ½ | AB × AC |.

A área do triângulo ABC também pode ser expressa em termos de produtos de ponto como se segue:

\ Frac {1} {2} \ sqrt {(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AB}) (\ mathbf {AC} \ cdot \ mathbf {AC}) - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ 2} = \ frac {1} {2} \ sqrt {| \ mathbf {AB} | ^ 2 | \ mathbf {AC} | ^ 2 - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC }) ^ 2} \,.
Aplicando trigonometria para encontrar a altitude h.

Usando trigonometria

A altura de um triângulo pode ser encontrado por meio de uma aplicação de trigonometria . Usando a rotulagem como na imagem à esquerda, a altitude é h = γ um pecado. Substituindo esta na fórmula S = ½ bh derivado acima, a área do triângulo pode ser expressa como:

S = \ frac {1} {2} ab \ sin \ gamma = \ frac {1} {2} bc \ sin \ alpha = \ frac {1} {2} ca \ sin \ beta.

Além disso, uma vez que pecado α = sin - α) = sin (β + γ), e similarmente para os outros dois ângulos:

S = \ frac {1} {2} ab \ sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {1} {2} bc \ sin (\ beta + \ gamma) = \ frac {1} {2} ca \ sin ( \ gamma + \ alpha).

Usando coordenadas

Se vértice A está localizado na origem (0, 0) de um sistema de coordenadas cartesianas e as coordenadas dos outros dois vértices são dadas por B = (B x, y B) e C = (C x, y C), seguida a área S pode ser calculado como ½ vezes o valor absoluto do determinante

S = \ frac {1} {2} \ left | \ det \ begin {} pmatrix x_B & x_C \\ y_B & y_C \ end {pmatrix} \ right | = \ frac {1} {2} | x_B y_C - x_C y_B |.

Para três vértices gerais, a equação é a seguinte:

S = \ frac {1} {2} \ left | \ det \ begin {} pmatrix x_A & x_B & x_C \\ Y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right | = \ frac {1} {2} \ grande | x_A y_C - x_A y_B + x_B Y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C Y_A \ grande |.

Em três dimensões, a área de um triângulo geral {A = (x A, Y A, z A), B = (B x, y B, Z B) e C = (x C, C y, z C)} é o Pitágoras soma das áreas das respectivas projecções nos três planos principais (isto é, x = 0, y = 0 e z = 0):

S = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ left (\ det \ begin {} pmatrix x_A & x_B & x_C \\ Y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2 + \ left (\ det \ begin {} pmatrix Y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2 + \ left (\ det \ begin {} pmatrix z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2}.

Usando a fórmula de Heron

A forma do triângulo é determinado pelos comprimentos dos lados sozinho. Por conseguinte, a área S também pode ser derivada a partir dos comprimentos dos lados. Por A fórmula de Heron:

S = \ sqrt {s (s-a), (s-b), (s-c)}

onde s = ½ (a + b + c) é o semiperimeter, ou metade do perímetro do triângulo.

Uma maneira equivalente de escrever a fórmula de Heron é

S = \ frac {1} {4} \ sqrt {(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)}.

Triângulos não-planares

Um triângulo não plana é um triângulo, que não está contido num plano (plano). Exemplos de triângulos não-planares em geometrias são noneuclidean triângulos em esféricas e geometria esférica triângulos hiperbólicas em geometria hiperbólica.

Embora todos regulares, planas (duas dimensões) triângulos conter ângulos que adicionam-se a 180 °, há casos em que os ângulos de um triângulo pode ser maior ou menor do que 180 °. Em números curvos, um triângulo em uma figura negativamente curvado ("sela") terão seus ângulos somam menos de 180 ° enquanto um triângulo em uma figura positivamente curvado ("esfera") terão seus ângulos somam mais de 180 °. Assim, se alguém fosse desenhar um triângulo gigante na superfície da Terra, pode-se verificar que a soma dos seus ângulos foram maiores do que 180 °.

Retirado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Triangle&oldid=199244337 "