Conteúdo verificado

Funções trigonométricas

Assuntos Relacionados: Matemática

Sobre este escolas selecção Wikipedia

Esta seleção Escolas foi originalmente escolhido pelo SOS Children para as escolas no mundo em desenvolvimento sem acesso à internet. Ele está disponível como um download intranet. Para comparar instituições de caridade de patrocínio esta é a melhor ligação de patrocínio .

Função Abreviatura Identidades (usando radianos )
Seno pecado \ Sin \ theta \ equiv \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ csc \ theta} \,
Co-seno cos \ Cos \ theta \ equiv \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ s \ theta} \,
Tangente bronzeado
(Ou Tg)
\ Tan \ theta \ equiv \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \ equiv \ berço \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} { \ berço \ theta} \,
Co-secante csc
(Ou cosec)
\ Csc \ theta \ equiv \ s \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ sin \ theta} \,
Secante sec \ S \ theta \ equiv \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} {\ cos \ theta} \,
Co-tangente berço
(Ou CTG ou CTN)
\ Berço \ theta \ equiv \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \ equiv \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ theta \ right) \ equiv \ frac {1} { \ tan \ theta} \,

Em matemática , as funções trigonométricas (também chamadas de funções circulares) são funções de um ângulo . Eles são importantes para o estudo dos triângulos e modelagem fenômenos periódicos, entre muitas outras aplicações. Funções trigonométricas são comumente definida como rácios de dois lados de um triângulo rectângulo que fazem o ângulo, de forma equivalente e podem ser definidos como os comprimentos de vários segmentos de linha a partir de um círculo unitário. Definições mais modernas expressá-las como infinito série ou como soluções de certos equações diferenciais , permitindo a sua extensão para valores positivos e negativos arbitrárias e mesmo para números complexos .

Todas as funções trigonométricas de um ângulo θ pode ser construída geometricamente em termos de um círculo centrado na unidade S.

No uso moderno, há seis funções trigonométricas básicas, que são tabulados aqui, juntamente com equações relacionando-os entre si. Especialmente no caso dos quatro últimos, essas relações são muitas vezes tomadas como as definições dessas funções, mas pode-se defini-los igualmente bem geometricamente ou por outros meios e depois derivar essas relações.

História

A noção de que deve haver algum padrão correspondência entre o comprimento dos lados de um triângulo e os ângulos do triângulo vem assim que se reconhece que triângulos semelhantes manter as mesmas relações entre os seus lados. Isto é, para qualquer triângulo semelhante a razão entre a hipotenusa (por exemplo) e outro dos lados permanece a mesma. Se a hipotenusa é o dobro do tempo, por isso são os lados. É apenas estas relações que as funções trigonométricas expressar.

Funções trigonométricas foram estudados por Hiparco de Nicéia (180-125 aC), Ptolomeu do Egito (90-180 dC), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī , Abu al-Wafā 'al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (século 14), Ulugh Beg (século 14), Regiomontanus (1464), Rheticus, e aluno de Rheticus Valentin Otho.

Madhava de Sangamagramma (c. 1400) fez primeiros passos na análise de funções trigonométricas em termos de infinita série. Leonhard Euler Introductio 's em infinitorum analysin (1748) foi o principal responsável por estabelecer o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, também definindo-os como série infinita e apresentando " A fórmula de Euler ", bem como o abreviaturas quase moderno pecado., Cos., Tang., Berço., Seg., E cosec.

Algumas funções historicamente eram comuns (e apareceu nas primeiras tabelas), mas são agora raramente usadas, tais como a acorde (crd (θ) = 2 sin (θ / 2)), o verseno (versin (θ) = 1 - cos (θ) = 2 sin² (θ / 2)), o Haversine (Haversin (θ) = versin (θ) / 2 = sin² (θ / 2)), o exsecant (exsec (θ) = s (θ) - 1) eo excosecant (excsc (θ) = exsec (π / 2 - θ) = csc (θ) - 1). Muito mais as relações entre essas funções estão listadas no artigo sobre identidades trigonométricas.

Definições triângulo retângulo

A triângulo retângulo inclui sempre um ângulo de 90 ° (π / 2 radianos), aqui rotuladas C. Angles A e B podem variar. Funções trigonométricas especificar as relações entre os comprimentos dos lados e ângulos internos de um triângulo retângulo.

De modo a definir as funções trigonométricas para o ângulo A, começar com uma arbitrária triângulo retângulo que contém o ângulo A:

Nós usamos os seguintes nomes para os lados do triângulo:

  • O hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto, ou definido como o lado mais longo de um triângulo rectângulo, neste caso h.
  • O lado oposto é o lado oposto ao ângulo que está interessado, neste caso, um.
  • O lado adjacente é o lado que está em contato com o ângulo que estamos interessados em eo ângulo direito, daí o seu nome. Neste caso, o lado adjacente é b.

Todos os triângulos são levados a existir no plano euclidiano de modo que os ângulos interiores de cada triângulo a soma π radianos (ou 180 ° ); portanto, para um triângulo retângulo os dois ângulos não-direita são entre zero e π / 2 radianos (ou 90 ° ). O leitor deve observar que as seguintes definições, estritamente falando, apenas definem as funções trigonométricas para ângulos nesta faixa. Nós estendê-los para todo o conjunto de argumentos reais usando a círculo unitário, ou exigindo certas simetrias e que sejam funções periódicas.

1) o seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto ao comprimento da hipotenusa. No nosso caso

\ Pecado A = \ frac {\ textrm {oposto}} {\ textrm {hipotenusa}} = \ frac {a} {h} .

Note-se que esta relação não depende do triângulo nomeadamente direito escolhido, desde que ele contenha o ângulo A, em que todos estes são triângulos semelhante.

O conjunto de zeros de seno (ou seja, os valores de x para qual \ Sin x = 0 ) É

\ \ Left {n \ pi \ grande | n \ isin \ mathbb {Z} \ right \} .

2) A co-seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente ao comprimento da hipotenusa. No nosso caso

\ Cos A = \ frac {\ textrm {adjacente}} {\ textrm {hipotenusa}} = \ frac {b} {h} .

O conjunto de zeros de cosseno é

\ \ Left {\ frac {\ pi} {2} + n \ pi \ bigg | n \ isin \ mathbb {Z} \ right \} .

3) A tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto ao comprimento do lado adjacente. No nosso caso

\ Tan A = \ frac {\ textrm {oposto}} {\ textrm {adjacente}} = \ frac {a} {b} .

O conjunto de zeros de tangente é

\ \ Left {n \ pi \ grande | n \ isin \ mathbb {Z} \ right \} .

O mesmo conjunto da função seno desde

\ Tan A = \ frac {\ pecado A} {\ cos A} .

Os restantes três funções são melhor definidos usando as três funções acima.

4) A co-secante csc (A) é o multiplicativo inverso de sen (A), isto é, a razão entre o comprimento da hipotenusa ao comprimento do lado oposto:

\ Csc A = \ frac {\ textrm {hipotenusa}} {\ textrm {oposto}} = \ frac {h} {a} .

5) O segundo secante (A) é o multiplicativo inverso de cos (A), isto é, a razão entre o comprimento da hipotenusa ao comprimento do lado adjacente:

\ Sec A = \ frac {\ textrm {hipotenusa}} {\ textrm {adjacente}} = \ frac {h} {b} .

6) A co-tangente berço (A) é o multiplicativo inverso de tan (A), isto é, a razão entre o comprimento do lado adjacente ao comprimento do lado oposto:

\ Berço A = \ frac {\ textrm {adjacente}} {\ textrm {oposto}} = \ frac {b} {a} .

Definições Slope

Equivalente às definições de triângulo direita, as funções trigonométricas pode ser definido em termos do aumento, executar, e declive de um segmento de linha em relação a algum linha horizontal. A inclinação é comumente ensinada como "ascensão ao longo run" ou origem / run. As três principais funções trigonométricas são comumente ensinadas na ordem seno, cosseno, tangente. Com um círculo de unidade, a seguinte correspondência de definições existe:

  1. Seno é em primeiro lugar, é primeiro lugar. Sine leva um ângulo e conta a ascensão.
  2. Cosine é o segundo, é o segundo prazo. Cosine leva um ângulo e conta a prazo.
  3. Tangent é a fórmula inclinação que combina a ascensão e correr. Tangent leva um ângulo e diz a inclinação.

Isso mostra o principal uso da tangente e arco tangente: a conversão entre as duas formas de contar a inclinação de uma linha, ou seja, ângulos e inclinações. (Note-se que o arco tangente ou "tangente inversa" não deve ser confundido com a co-tangente, que é dividido por sin cos).

Enquanto o raio do círculo não faz qualquer diferença para o declive (o declive não depende do comprimento da linha inclinada), que afecta ascensão e executado. Para ajustar e encontrar a origem real e executar, basta multiplicar o seno e co-seno pelo raio. Por exemplo, se o círculo tem um raio 5, o funcionamento segundo um ângulo de 1 ° 5 é cos (1 °)

Unidade de definições de círculo

O círculo unitário

Os seis funções trigonométricas também pode ser definida em termos da círculo unitário, o círculo de raio centrado na origem. A definição círculo unitário oferece pouco em termos de cálculo prático; na verdade, ele se baseia em triângulos retângulos para a maioria dos ângulos. A definição círculo unitário, no entanto, permitir a definição das funções trigonométricas para todos os argumentos positivos e negativos, não apenas para ângulos entre 0 e π / 2 radianos. Ele também fornece uma única imagem visual que encapsula uma só vez todos os triângulos importantes. A partir do teorema de Pitágoras a equação para o círculo unidade é:

x ^ 2 + y ^ 2 = 1 \,

No retrato, alguns ângulos comuns, medido em radianos, são dadas. Medições no sentido anti-horário são ângulos positivos e medidas no sentido dos ponteiros do relógio são ângulos negativos. Deixe uma linha que passa pela origem, fazendo um ângulo de θ com a metade positiva do círculo eixo x cruzam a unidade. As x - e y -coordena deste ponto de intersecção são iguais a cos θ e θ pecado, respectivamente. O triângulo no gráfico impõe a fórmula; o raio é igual à hipotenusa e tem comprimento 1, por isso temos pecado θ = y / 1 e cos θ = x / 1. O círculo unitário pode ser pensado como um modo de olhar para um número infinito de triângulos, variando o comprimento das suas pernas, mas mantendo os comprimentos dos seus hipotenusas igual a 1.

A f (x) = sen (x) e f (x) = cos (x) funções representadas no plano cartesiano.
Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, secante, Secante, Cotangent

Para ângulos maiores do que 2π ou menos do que -2π, simplesmente continuar a girar em torno do círculo. Deste modo, de seno e co-seno tornar funções periódicas com período 2π:

\ Sin \ theta = \ sin \ left (\ theta + 2 \ pi k \ right)
\ Cos \ theta = \ cos \ left (\ theta + 2 \ pi k \ right)

para qualquer ângulo θ e qualquer número inteiro k.

O menor período positivo de uma função periódica é chamado o período primitivo da função. O período primitivo do seno, cosseno, secante, ou co-secante é um círculo completo, ou seja, 2π radianos ou 360 graus; o período primitivo da tangente ou co-tangente é apenas uma meia-círculo, ou seja, π radianos ou 180 graus. Acima, apenas seno e co-seno foram definidos directamente pelo círculo unitário, mas os outros quatro funções trigonométricas pode ser definido por:

\ \ Theta tan = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} \ quad \ s \ theta = \ frac {1} {\ cos \ theta}
\ Csc \ theta = \ frac {1} {\ sin \ theta} \ quad \ berço \ theta = \ frac {\ cos \ theta} {\ pecado theta \}
O f (x) = função tan (x) representada graficamente no plano cartesiano.

Para a direita é uma imagem que mostra um gráfico visivelmente diferente da função trigonométrica f (θ) = tan (θ) representada graficamente no plano cartesiano. Note-se que as suas x-intercepta corresponder à do pecado (θ), enquanto seus valores indefinidos correspondem aos X-intercepta dos cos (θ). Observe que os resultados da função mudar lentamente ao redor ângulos de π k, mas mudar rapidamente em ângulos perto de (k + 1/2) π. O gráfico da função tangente também tem um verticais asymptote em θ = (k + 1/2) π. Este é o caso, pois a função de se aproxima do infinito, como se aproxima θ (k + 1/2) π a partir da esquerda e menos infinito medida que se aproxima (k + 1/2) π da direita.

Alternativamente, todas as funções trigonométricas básicas podem ser definidas em termos de um círculo unitário centrado em O (mostrado à direita, perto do topo da página), e tais definições geométricas semelhantes foram utilizados historicamente. Em particular, para uma corda AB do círculo, onde θ é metade do ângulo subtendido, sen (θ) é AC (metade da corda), uma definição introduzida na ?ndia (ver acima). cos (θ) é a distância horizontal OC, e versin (θ) = 1 - cos (θ) é de CD. tan (θ) é o comprimento do segmento de AE a linha tangente que passa por A, por conseguinte, a palavra tangente para esta função. berço (θ) é outro segmento tangente, AF. sec (θ) = OE e csc (θ) = OF são segmentos de linhas secantes (intersecta o círculo em dois pontos), e também pode ser visto como projecções da OA ao longo da tangente em A para os eixos horizontal e vertical, respectivamente. DE é exsec (θ) = s (θ) - 1 (a porção de secante do lado de fora, ou ex, o círculo). A partir destas construções, é fácil ver que as funções secante e tangente divergem quanto θ aproxima π / 2 (90 graus) e que a co-secante e co-tangente divergem quanto θ aproxima de zero. (Muitas construções semelhantes são possíveis, e as identidades trigonométricas básicos também pode ser provado graficamente.)

Série definições

A função seno (azul) está intimamente aproximada por seu polinômio de Taylor de grau 5 (rosa) para um ciclo completo centrado na origem.

O uso de apenas a geometria e as propriedades dos limites , pode ser demonstrado que o derivado de seno é co-seno e o derivado de cosseno é o negativo de seno. (Aqui, e, em geral, cálculo , todos os ângulos são medidos em radianos ; ver também o significado de radianos abaixo.) Pode-se então utilizar a teoria da série de Taylor para mostrar que as seguintes identidades segurar para todos os números reais x:

\ Sin x = x - \ frac {x ^ 3} {! 3} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {! 7} + \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)}!
\ Cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {! 2} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ Frac {x ^ 6} {!} + 6 \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}! {} (2m)}

Estas identidades são muitas vezes tomado como as definições da função de seno e cosseno. Elas são muitas vezes utilizadas como ponto de partida em um tratamento rigoroso das funções trigonométricas e suas aplicações (por exemplo, em Séries de Fourier), uma vez que a teoria de série infinita pode ser desenvolvido a partir dos fundamentos do sistema de número real , independentemente de quaisquer considerações geométricas. O diferenciabilidade e continuidade destas funções são então estabelecida a partir das definições série por si só.

Outras séries pode ser encontrado:

\ Tan x \,{} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {{U_ 2n + 1} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}
{} = \ Sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1} ^ {2} 2N (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} {x ^ 2 N-1 }} {(2n)!}
{} = X + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {2 x ^ 5} {15} + \ frac {17 x ^ 7} {315} + \ cdots, \ qquad \ mbox {para} | x | <\ frac {\ pi} {2}

onde

U_n \, é o enésimo cima / baixo número,
B_n \, é o enésimo Número de Bernoulli, e
E_n \, (Abaixo) é o enésimo Número de Euler.

Quando esta é expressa numa forma em que os denominadores são os factoriais correspondentes, e as numeradas, chamado de "números", tangentes tem uma combinatória interpretação: eles enumerar permutações alternadas de conjuntos finitos de cardinalidade estranho.

\ Csc x \,{} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1} 2 (2 ^ {2n-1} -1) B_ {2n} {x ^ 2m-1}} {(2 N)!}
{} = \ Frac {1} {x} + \ frac {x} {6} + \ frac {7 x ^ 3} {360} + \ frac {31 x ^ 5} {15120} + \ cdots, \ qquad \ mbox {} para 0 <| x | <\ pi
\ Sec x \,{} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {{U_ 2n} x ^ {2n}} {(2m)!} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n E_ {2n} x ^ {2n}} {(2m)!}
{} = 1 + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {5 x ^ 4} {24} + \ frac {61 x ^ 6} {720} + \ cdots, \ qquad \ mbox {para} | x | <\ frac {\ pi} {2}

Quando isso é expressa de uma forma em que os denominadores são os fatoriais correspondentes, os numeradores, chamados os "números secantes", têm uma combinatória interpretação: eles enumerar permutações alternadas de conjuntos finitos de cardinalidade mesmo.

\ Berço x \,{} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac - {! (2m)} {(1) ^ n ^ {2} 2n B_ {2n} {x ^ 2m-1}}
{} = \ Frac {1} {x} - \ frac {x} {3} - \ frac {x ^ 3} {45} - \ frac {2 x ^ 5} {945} - \ cdots, \ qquad \ mbox {} para 0 <| x | <\ pi

De um teorema de análise complexa, não é uma extensão única analítica desta função real para os números complexos. Eles têm a mesma série de Taylor, e assim as funções trigonométricas são definidas sobre os números complexos usando a série de Taylor acima.

Relação com a função exponencial e números complexos

sine complexo
cosseno complexo

Pode ser mostrado a partir das definições da série que as funções seno e cosseno são os imaginários partes e reais, respectivamente, da função exponencial complexa quando seu argumento é puramente imaginário:

e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta \, .

Esta identidade é chamada A fórmula de Euler. Desta forma, as funções trigonométricas tornou essencial na interpretação geométrica de análise complexa. Por exemplo, com a identidade de cima, se se considerar o círculo unitário no plano complexo , definido por e x i, e como acima, que podem parametrizar este círculo em termos de co-senos e senos, a relação entre o complexo exponencial e o trigonométrica funções torna-se mais evidente.

Além disso, isto permite a definição das funções trigonométricas para argumentos complexo z:

\ Sin z \, = \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {! (2n + 1)} {z ^ 2n + 1} \, = \, {e ^ {iz} - e ^ {- iz} \ over 2i} = -i \ sinh \ left (iz \ right)
\ Cos z \, = \, \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {! (2m)} z ^ {2n} \, = \, {e ^ {iz} + e ^ {- iz} \ over 2} = \ cosh \ left (iz \ right)

onde i 2 = -1. Além disso, para puramente reais x,

\ cos x \, = \, \ mbox {Re} (e ^ {i x})
\ Sin x \, = \, \ mbox {} Im (e ^ {i x})

Sabe-se também que os processos exponenciais estão intimamente ligadas ao comportamento periódico.

Definições através de equações diferenciais

Ambas as funções seno e co-seno satisfazer a equação diferencial

y '' = - y .

Ou seja, cada um é o negativo da sua própria segunda derivada. Dentro do 2-dimensional espaço funcional V que consiste de todas as soluções da equação, a função de seno é a única solução que satisfaça as condições iniciais y (0) = 0 e y '(0) = 1, e a função co-seno é a única solução que satisfaça as condições iniciais y (0) = 1 e y '(0) = 0. Uma vez que as funções de seno e co-seno são linearmente independentes, em conjunto, formam um base de V. Este método de definição das funções seno e co-seno é essencialmente equivalente a usar a fórmula de Euler. (Ver equação diferencial linear). Verifica-se que esta equação diferencial pode ser utilizada não só para definir as funções de seno e co-seno, mas também para provar a identidades trigonométricas das funções seno e cosseno. Além disso, a observação de que o seno e co-seno satisfaz y '' = - y significa que eles são autofunções do operador da derivada segunda.

A função tangente é a única solução da equação diferencial não linear

y '= 1 + y ^ 2

satisfazendo a condição inicial y (0) = 0. Não é uma prova visual muito interessante que os satisfaz função tangente esta equação diferencial; veja Análise Visual Complexo de Needham.

O significado de radianos

Radianos especificar um ângulo através da medição do comprimento em torno do caminho do círculo unitário e constituem um argumento especial às funções seno e coseno. Em particular, apenas os senos e cossenos que mapeiam radianos para rácios de satisfazer as equações diferenciais que descrevem-los classicamente. Se um argumento para seno ou co-seno em radianos é escalado pela freqüência,

f (x) = \ sin (KX); k \ ne 0, k \ ne 1 \,

em seguida, os derivados serão dimensionados pela amplitude.

f '(x) = k \ cos (kx) \, .

Aqui, k é uma constante que representa um mapeamento entre as unidades. Se X é em graus, então

k = \ frac {\ pi} {180 ^ \ circ} .

Isto significa que a segunda derivada de um seno em graus não satisfaz a equação diferencial

y '' = -y \, ,

mas em vez

y '' = k ^ 2y \; ;

segunda derivada do cosseno se comporta de forma semelhante.

Isto significa que estes senos e co-senos são funções diferentes, e que o quarto derivado de seno será seno novamente apenas se o argumento é em radianos.

Identidades

Existem muitas identidades que se inter-relacionam as funções trigonométricas. Entre os mais utilizados é a identidade de Pitágoras, que afirma que para qualquer ângulo, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno é sempre 1. Isso é fácil de ver, estudando um triângulo direito da hipotenusa 1 e aplicando o teorema de Pitágoras . De forma simbólica, a identidade de Pitágoras lê,

\ Left (\ sin x \ right) ^ 2 + \ left (\ cos x \ right) ^ 2 = 1 ,

que é mais comumente escrito com o expoente "dois" ao lado do símbolo seno e cosseno:

\ Pecado ^ 2 \ left (x \ right) + \ cos ^ 2 \ left (x \ right) = 1 .

Em alguns casos, os parêntesis interiores podem ser omitidos.

Outras relações de chave são a soma e fórmulas de diferença, que dão o seno e co-seno da soma e diferença de dois ângulos em termos de senos e co-senos dos próprios ângulos. Estes podem ser derivados geometricamente, usando argumentos que remontam à Ptolomeu ; também se pode produzi-los algebricamente usando a fórmula de Euler.

\ Sin \ left (x + y \ right) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ y sin
\ cos \ left (x + y \ right) = \ cos x \ cos y - \ sin x \ y sin
\ Sin \ left (xy \ right) = \ sin x \ cos y - \ cos x \ y sin
\ cos \ left (xy \ right) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ y sin

Quando os dois ângulos são iguais, as fórmulas de soma reduzir a equações mais simples conhecidos como as fórmulas de duplo ângulo.

Estas identidades também pode ser usado para derivar o identidades produto-a-soma que foram usados na Antiguidade para transformar o produto de dois números em uma soma de números e muito a velocidade de operações, bem como a função de logaritmo .

Cálculo

Para integrais e derivados de funções trigonométricas, consulte as secções relevantes do mesa de derivativos, tabela de integrais, e lista de integrais de funções trigonométricas. Abaixo está a lista das derivadas e integrais das seis funções trigonométricas básicas.

\ \ \ \ F (x)\ Frac {d} {dx} f (x)\ Int f (x) \, dx
\, \ \ Sin x\, \ \ Cos x \, \ - \ Cos x + C
\, \ \ Cos x\, \ - \ Sin x\, \ \ Sin x + C
\, \ \ Tan x\, \ \ S ^ {2} x- \ Ln \ left | \ cos x \ right | + C
\, \ \ Berço x\, \ \ Csc ^ {2} x\ Ln \ left | \ sin x \ right | + C
\, \ \ Sec x\, \ \ S {x} \ tan {x}\ Ln \ left | \ sec x + \ tan x \ right | + C
\, \ \ Csc x\, \ - \ Csc {x} \ berço {x}- \ Ln \ left | \ csc x + \ berço x \ right | + C

Definições utilizando equações funcionais

Em análise matemática , pode-se definir as funções trigonométricas usando equações funcionais baseados em propriedades como as fórmulas de soma e diferença. Tomando como dado estas fórmulas e a identidade de Pitágoras, por exemplo, pode-se provar que apenas dois funções reais satisfazem essas condições. Simbolicamente, podemos dizer que existe exatamente um par de funções reais \, \ \ Pecado e \, \ \ Cos de tal forma que para todos os números reais x e y, as seguintes equações segurar:

\ Sin ^ 2 (X) + \ cos ^ 2 (x) = 1, \,
\ Sin (x \ pm y) = \ sin (x) \ cos (y) \ pm \ cos (x) \ sin (y), \,
\ Cos (x \ pm y) = \ cos (x) \ cos (y) \ pf \ sen (x) \ sin (y), \,

com a condição acrescentou que

0 <x \ cos (x) <\ sin (x) <x \ \ mathrm {for} \ 0 <x <1 .

Outros derivações, a partir de outras equações funcionais, também são possíveis, tais derivações e pode ser estendido para os números complexos. Como um exemplo, esta derivação pode ser utilizada para definir trigonometria em campos de Galois.

Computação

O cálculo das funções trigonométricas é um assunto complicado, que hoje pode ser evitado pela maioria das pessoas devido à ampla disponibilidade de computadores e calculadoras científicas que fornecem built-in funções trigonométricas para qualquer ângulo. Nesta seção, no entanto, descrevemos mais detalhes de seu cálculo em três contextos importantes: o histórico de uso de tabelas trigonométricas, as modernas técnicas utilizadas pelos computadores, e alguns ângulos "importantes", onde os valores exatos simples são facilmente encontrados. (Aqui, basta considerar a uma pequena gama de ângulos, por exemplo 0 a π / 2, uma vez que todos os outros ângulos podem ser reduzidos para esta gama pela periodicidade e simetrias das funções trigonométricas.)

Antes de computadores, as pessoas normalmente avaliadas funções trigonométricas por interpolação a partir de uma tabela detalhada de seus valores, calculados para muitos algarismos significativos. Tais tabelas têm estado disponíveis durante o tempo que as funções trigonométricas foram descritos (ver História acima), e foram tipicamente gerado pela aplicação repetida do meio-ângulo e o ângulo de adição identidades a partir de um valor conhecido (como sin (π / 2) = 1).

Os computadores modernos usam uma variedade de técnicas. Um método comum, especialmente em processadores high-end com unidades de ponto flutuante, é combinar um polinômio ou racional aproximação (tal como Aproximação Chebyshev, aproximação melhor uniforme, e Aproximação de Padé e, normalmente, para precisões mais elevadas ou mais variáveis, Taylor e Série Laurent) com redução gama e uma consulta à tabela - que primeiro olhar para cima o ângulo mais próximo em uma pequena mesa, em seguida, usar o polinômio para calcular a correção. Em dispositivos mais simples que carecem multiplicadores de hardware, existe um algoritmo denominado CORDIC (bem como técnicas afins) que é mais eficiente, uma vez que utiliza apenas mudanças e adições. Todos estes métodos são geralmente aplicadas em hardware por motivos de desempenho.

Para cálculos muito elevada precisão, quando a convergência expansão em série torna-se muito lenta, funções trigonométricas pode ser aproximada pela aritmética-geométrico médio, que se aproxima a função trigonométrica da ( complexo ) elíptica integral.

Finalmente, para alguns ângulos simples, os valores podem ser facilmente calculados à mão usando o teorema de Pitágoras , como nos exemplos a seguir. Na verdade, o seno, cosseno e tangente de qualquer número inteiro múltiplo de \ Pi / 60 radianos (3 °) podem ser encontrados exatamente com a mão.

Considere-se um triângulo, onde os dois outros ângulos são iguais e, portanto, são ambos \ Pi / 4 radianos (45 °). Em seguida, o comprimento do lado b e o comprimento de um lado são iguais; podemos escolher a = b = 1 . Os valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo de \ Pi / 4 radianos (45 °), em seguida, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = \ SQRT2 .

Portanto:

\ Sin \ left (\ pi / 4 \ right) = \ sin \ left (45 ^ \ circ \ right) = \ cos \ left (\ pi / 4 \ right) = \ cos \ left (45 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over \ SQRT2} ,
\ Tan \ left (\ pi / 4 \ right) = \ tan \ left (45 ^ \ circ \ right) = {{\ sin \ left (\ pi / 4 \ right)} \ over {\ cos \ left (\ pi / 4 \ right)}} = {1 \ over \ SQRT2} \ cdot {\ SQRT2 \ over 1} = {\ SQRT2 \ over \ SQRT2} = 1 .

Para determinar as funções trigonométricas para ângulos de π / 3 radianos (60 graus) e π / 6 radianos (30 graus), começamos com um triângulo equilátero de lado comprimento 1. Todos os seus ângulos são π / 3 radianos (60 graus). Dividindo-o em dois, obtemos um triângulo retângulo com π / 6 radianos (30 graus) e π / 3 radianos (60 graus) ângulos. Para este triângulo, o lado mais curto = 1/2, o segundo maior colaterais = (√3) / 2 ea hipotenusa = 1. Isso resulta:

\ Sin \ left (\ pi / 6 \ right) = \ sin \ left (30 ^ \ circ \ right) = \ cos \ left (\ pi / 3 \ right) = \ cos \ left (60 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over 2} ,
\ Cos \ left (\ pi / 6 \ right) = \ cos \ left (30 ^ \ circ \ right) = \ sin \ left (\ pi / 3 \ right) = \ sin \ left (60 ^ \ circ \ right ) = {\ sqrt3 \ over 2} ,
\ Tan \ left (\ pi / 6 \ right) = \ tan \ left (30 ^ \ circ \ right) = \ berço \ left (\ pi / 3 \ right) = \ berço \ left (60 ^ \ circ \ right ) = {1 \ over \ sqrt3} .

Funções inversas

As funções trigonométricas são periódicas e, portanto, não injective, tão estritamente eles não têm uma função inversa . Portanto, para definir uma função inversa que deve restringir os seus domínios de modo a que a função trigonométrica é bijective. No que se segue, as funções do lado esquerdo são definidos pela equação do lado direito; estes não são identidades provadas. Os principais inversos são geralmente definidas como:

\ Begin {matrix} \ mbox {para} e - \ frac {\ pi} {2} \ le y \ le \ frac {\ pi} {2}, e y = \ arcsin (x) & \ mbox {if} & x = \ sin (y) \\ \\ \ mbox {para} e 0 \ le y \ le \ pi, e y = \ arccos (x) & \ mbox {if} & x = \ cos (y) \ \ \\ \ mbox {para} e - \ frac {\ pi} {2} <y <\ frac {\ pi} {2}, e y = \ arctan (x) & \ mbox {if} & x = \ tan (y) \\ \\ \ mbox {para} e - \ frac {\ pi} {2} \ le y \ le \ frac {\ pi} {2}, y \ ne 0, & y = \ arccsc ( x) & \ mbox {if} & x = \ csc (y) \\ \\ \ mbox {para} e 0 \ le y \ le \ pi, y \ ne \ frac {\ pi} {2}, e y = \ arcsec (x) & \ mbox {if} & x = \ s (y) \\ \\ \ mbox {para} e 0 <y <\ pi, e y = \ arccot (x) & \ mbox {if } x & = \ berço (y) \ end {matrix}

Para as funções trigonométricas inversas, as notações pecar -1 e -1 cos são frequentemente utilizados para arcsin e arccos, etc. Quando esta notação é usada, as funções inverso poderia ser confundida com os inversos multiplicativos das funções. A notação usando o prefixo "Arc" evita tal confusão, embora "arcsec" pode ser confundida com " arcsecond ".

Assim como o seno e co-seno, as funções trigonométricas inversas pode também ser definida em termos de série infinita. Por exemplo,

\ Z = z arcsin + \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ frac {z ^ 3} {3} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right ) \ frac {z ^ 5} {5} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ right) \ frac {z ^ 7} {7} + \ cdots

Estas funções podem também ser definidos através da prova de que eles são antiderivadas de outras funções. O arco-seno, por exemplo, pode ser escrita da seguinte forma integrante:

\ Arcsin \ left (x \ right) = \ int_0 ^ x \ frac 1 {\ sqrt {1 - z ^ 2}} \, \ mathrm {d} z, \ quad | x | <1

Fórmulas análogas para as outras funções podem ser encontradas em Função trigonométrica inversa. Usando o logaritmo complexo, pode-se generalizar todas estas funções para argumentos complexos:

\ Arcsin (z) = -i \ log \ left (iz + \ sqrt {1 - z ^ 2} \ right)
\ Arccos (z) = -i \ log \ left (z + \ sqrt {z ^ 2 - 1} \ right)
\ Arctan (z) = \ frac {i} {2} \ log \ left (\ frac {1} {iz-1 + iz} \ right)

As propriedades e aplicações

As funções trigonométricas, como o nome sugere, são de importância crucial na trigonometria , principalmente por causa dos dois resultados seguintes.

Lei de senos

O lei dos senos afirma que para uma arbitrária triângulo com lados a, b, c e e ângulos opostos estes lados A, B e C:

\ Frac {a} = \ frac {\ pecado B} {b} = \ frac {\ pecado C} {c} {\ pecado A}

também conhecido como:

\ Frac {a} {\ pecado A} = \ frac {b} {\ pecado B} = \ frac {c} {\ pecado C} = 2R

em que R é o raio do triângulo de circumcircle.

A Curva de Lissajous, uma figura formada com uma função baseada em trigonometria.

Ele pode ser comprovada através da divisão do triângulo em duas pessoas certas e utilizando a definição acima de seno. A lei de senos é útil para calcular os comprimentos dos lados de um triângulo desconhecidos se dois ângulos e um lado são conhecidos. Esta é uma situação comum que ocorre em triangulação, uma técnica para determinar distâncias desconhecidas, medindo dois ângulos e uma distância fechado acessível.

Lei dos cossenos

O lei dos cossenos (também conhecida como a fórmula de co-seno) é uma extensão do teorema de Pitágoras :

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C \,

também conhecido como:

\ Cos C = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {} 2ab

Nesta fórmula, o ângulo em C é oposto ao lado c. Este teorema pode ser provado pela divisão do triângulo em duas pessoas certas e utilizando o Teorema de Pitágoras .

A lei de co-senos é usado principalmente para determinar um lado de um triângulo se dois lados e um ângulo são conhecidos, embora em alguns casos, pode haver duas soluções positivas como no SSA caso ambíguo. E também pode ser usado para localizar o co-seno de um ângulo (e consequentemente o próprio ângulo) se todos os lados são conhecidos.

Outras propriedades úteis

Há também um é lei de tangentes:

\ Frac {a + b} {ab} = \ frac {\ tan [\ frac {1} {2} (A + B)]} {\ tan [\ frac {1} {2} (AB)]}

Funções periódicas

Animação da síntese de um aditivo onda quadrada com um número crescente de harmônicas

As funções trigonométricas também são importantes na física. As funções seno e do co-seno, por exemplo, são usados para descrever o movimento harmônico simples, que modela muitos fenômenos naturais, tais como o movimento de uma massa presa a uma mola e, para os pequenos ângulos, o movimento pendular de uma suspensão em massa por uma corda. As funções de seno e co-seno são projecções unidimensionais do movimento circular uniforme.

Funções trigonométricas também revelar-se útil no estudo da General funções periódicas. Essas funções têm padrões de onda característicos como gráficos, úteis para a modelagem de fenômenos recorrentes, como som ou luz ondas . Cada sinal pode ser escrito como um (normalmente infinita) soma de funções seno e cosseno de diferentes frequências; esta é a idéia básica da análise de Fourier, onde séries trigonométricas são usadas para resolver uma variedade de problemas de valor limite em equações diferenciais parciais. Por exemplo, a onda quadrada, pode ser escrito como a série de Fourier

x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)} .

Na animação da direita pode-se ver que alguns termos já produzem uma boa aproximação.

Retirado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Trigonometric_functions&oldid=198922141"