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Cálculo vetorial

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Cálculo vetorial (também chamado de análise vetorial) é um campo de matemática preocupado com multivariada análise real de vectores numa espaço produto interno de duas ou mais dimensões (alguns resultados - aquelas que envolvem o produto cruzado - só pode ser aplicado a três dimensões). Ele consiste de um conjunto de fórmulas e técnicas de resolução de problemas muito úteis para engenharia e física . Análise de Vector tem sua origem em análise quaternion, e foi formulado pelo engenheiro americano e cientista J. Willard Gibbs eo engenheiro britânico Oliver Heaviside.

Cálculo vetorial está preocupado com campos escalares, que associam um escalares para cada ponto no espaço, e campos de vetores, que associam um vector para cada ponto do espaço. Por exemplo, a temperatura de uma piscina é um campo escalar: para cada ponto de nós associamos um valor escalar de temperatura. O fluxo de água na mesma piscina é um campo vetorial: para cada ponto associamos um vector de velocidade.

Operações de vetores

Estudos do cálculo de vetor vário operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vector, que são normalmente expressas em termos de del operador ( \ Nabla ). As quatro operações mais importantes no cálculo de vetor são:

Operação Notação Descrição Domínio / Intervalo
Gradiente \ Operatorname {} grad (f) = \ nabla f Mede a velocidade e direção da mudança em um campo escalar. Mapas campos escalares para campos de vetores.
Onda \ Operatorname {onda} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F} Mede a tendência para rodar em torno de um ponto num campo de vectores. Mapas campos vetoriais para campos de vetores.
Divergência \ Operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} Medidas a magnitude de uma fonte ou afundar em um determinado ponto em um campo vetorial. Mapas campos vetoriais para campos escalares.
Laplacian \ Delta f = \ nabla ^ 2 f = \ nabla \ cdot \ f nabla Uma composição de divergência e as operações de gradiente. Mapas campos escalares para campos escalares.

Uma quantidade chamada Jacobian é útil para estudar funções quando o domínio eo alcance da função são multivariada, como uma mudança de variáveis durante a integração.

Teoremas

Da mesma forma, existem diversos teoremas importantes relacionados a estes operadores que generalizam o teorema fundamental do cálculo de dimensões superiores:

Teorema Afirmação Descrição
Teorema Gradiente \ Varphi \ left (\ mathbf {q} \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) = \ int_L \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r}. O integral de linha através de um campo gradiente (vector) é igual à diferença em seu campo escalar nos pontos finais da curva .
Teorema de Green \ Int_ {C} L \, dx + M \, dy = \ iint_ {D} \ left (\ frac {\ M parcial} {\ x parcial} - \ frac {\ L parcial} {\ y parcial} \ right ) \, dA O integrante da onda escalar de um campo de vectores sobre alguma região no plano é igual ao integral de linha do campo de vectores sobre a curva da região delimitadora.
Teorema de Stokes \ Int _ {\ Sigma} \ nabla \ times \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} = \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}, O integrante da onda de um campo vetorial sobre um superfície é igual ao integral de linha do campo de vectores sobre a curva da superfície delimitadora.
Teorema da divergência \ Iiint \ limits_V \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) dV = \ iint \ limites _ {\ parte V} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}, O integrante da divergência de um campo de vectores sobre algum sólido é igual ao integral do fluxo através da superfície que delimita o sólido.

O uso do cálculo vector pode exigir a destreza manual do sistema de coordenadas a ser tidas em conta (ver produto cruzado e destreza manual para mais detalhes). A maioria dos resultados analíticos são facilmente entendido, de uma forma mais geral, usando a maquinaria de geometria diferencial , de cálculo que constitui um subconjunto do vetor.

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