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Espaço vetorial

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Em matemática , um espaço vetor (ou espaço linear) é uma coleção de objetos (chamados vetores) que, informalmente falando, pode ser escalado e acrescentou. Mais formalmente, um espaço vetorial é um definidas em quais duas operações, chamado (vector) adição e (escalar) multiplicação, são definidos e satisfazer certos naturais axiomas que estão listados abaixo. Espaços vetoriais são os objetos básicos de estudo em álgebra linear , e são utilizados em toda a matemática, ciência e engenharia.

Os espaços vetoriais mais familiares são de dois e três dimensões espaços euclidianos . Vetores nesses espaços são pares ou trios de ordenou números reais , e muitas vezes são representados como vetores geométricas , que são quantidades com uma magnitude e uma direção, geralmente descrito como flechas. Estes vectores podem ser adicionados em conjunto, utilizando o regra paralelogramo ( adição de vetores ) ou multiplicado por números reais ( multiplicação escalar). O comportamento dos vetores geométricos sob estas operações fornece um bom modelo intuitivo para o comportamento dos vetores em espaços mais abstratas do vetor, que não precisam ter uma interpretação geométrica. Por exemplo, o conjunto de (reais) polinômios forma um espaço vetorial.

Um espaço vetorial é uma coleção de objetos (chamados vetores) que podem ser escalados e adicionados.

Definição formal

Seja F um de campo (tais como os números reais ou números complexos ), cuja elementos serão chamados escalares. Um espaço vectorial sobre o campo F é um definir V juntamente com dois operações binárias,

  • Além vetor: V × VV denotada v + w, onde v, wV, e
  • multiplicação escalar: F × VV denotava um v, onde aF e vV,

satisfazendo a axiomas abaixo. Quatro dos axiomas requerem vectores em adição para formar um grupo abeliano, e dois são leis distributiva.

  1. Além Vector é associativa :

    Para todos u, v, wV, temos u + (v + w) = (u + v) + w.

  2. Além Vector é comutativo :

    Para todos v, wV, temos v + w = w + v.

  3. Além vector tem uma elemento de identidade:

    Existe um elemento 0V, o chamado vetor zero, tal que v + 0 = v para todo vV.

  4. Além Vector tem elementos inversos:

    Para todo v ∈ V, existe um elemento wV, chamado de inversa aditivo de V, de tal modo que v w = 0 +.

  5. Distributividade vale para multiplicação escalar sobre adição de vetores:

    Para todos aF e v, wV, temos uma (v + w) = a + v um w.

  6. Distributividade vale para multiplicação escalar sobre a adição de campo:

    Para todos a, bF e vV, temos (a + b) v = a + b v v.

  7. Multiplicação escalar é compatível com a multiplicação no domínio da escalares:

    Para todos a, bF e vV, nós temos um (b v) = (ab) v.

  8. Tem uma multiplicação escalar elemento de identidade:

    Para todo vV, nós temos um v = v, onde 1 denota a identidade multiplicativa em F.

Formalmente, estes são os axiomas para um módulo, de modo que um espaço vector pode ser resumidamente descrito como um módulo sobre um campo.

Note-se que o sétimo axioma acima, indicando a (b v) = (ab) v, não está afirmando a associatividade de uma operação, uma vez que existem duas operações em causa, multiplicação escalar: b v; e multiplicação campo: ab.

Algumas fontes optar por incluir também dois axiomas de Encerramento:

  1. V é fechado sob adição de vetores:

    Se u, vV, então u + vV.

  2. V é fechado sob multiplicação por escalar:

    Se aF, vV, então um vV.

No entanto, o entendimento formal moderna das operações como mapas com codomain V implica estas declarações por definição e, portanto, elimina a necessidade de listá-las como axiomas independentes. A validade de axiomas de fecho é a chave para determinar se um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço.

Note-se que as expressões da forma de "v a", onde vV e umaF, são, estritamente falando, não definido. Devido à commutativity do campo subjacente, no entanto, "a v" e "v a" são muitas vezes tratadas como sinónimos. Além disso, se vV, WV, e umaF em que V é de espaço vectorial, adicionalmente, uma álgebra sobre o campo F, em seguida, uma v w = v a w, o que torna conveniente a considerar "a v" e "v" um para representar o mesmo vetor.

Propriedades elementares

Há um número de propriedades que se seguem facilmente a partir dos axiomas de espaço vectorial.

  • O zero vector 0V é único:

    Se 0 1 0 2 e são zero vectores em V, de modo que 0 1 + v = v 0 e 2 + v = v para todo vV, então 0 0 2 1 = = 0.

  • Multiplicação escalar com o vector de zero produz o vector zero:

    Para todos aF, temos um 0 = 0.

  • Multiplicação escalar por zero origina o vector zero:

    Para todo vV, nós temos 0 v = 0, em que 0 indica a identidade aditivo na F.

  • Nenhum outro multiplicação escalar origina o vector zero:

    Temos um v = 0 se e somente se a = 0 ou v = 0.

  • O aditivo inversa - v de um vector v é única:

    Se W 1 e W 2 são inversos aditivos de vV, de tal modo que v + w 1 = 0 e v + w 2 = 0, então w w 1 = 2. Chamamos o inverso - v e definir w - vw + (- v).

  • Multiplicação escalar por unidade negativa produz o inverso aditivo do vetor:

    Para todo vV, temos (-1) v = - v, onde 1 denota a identidade multiplicativa em F.

  • Negação comuta livremente:

    Para todos aF e vV, temos (- a) v = a (- v) = - (a v).

Exemplos

Subespaços e bases

Artigos principais: Subespaço linear, Base

Dado um espaço vetorial V, um nonempty subconjunto W de V que é fechado sob adição e multiplicação escalar é chamado de subespaço de V. subespaços de V são espaços vetoriais (no mesmo campo) em seu próprio direito. A intersecção de todos os subespaços que contenham um determinado conjunto de vetores é chamado de extensão; se nenhum vector pode ser removido sem alterar a extensão, o conjunto está a ser dito linearmente independentes. Um conjunto linearmente independente, cuja extensão é V é chamado de base para V.

Uso Lema de Zorn (que é equivalente à axioma de escolha), pode ser provado que cada espaço vector tem uma base. Daqui resulta a partir da ultrafilter lema, que é mais fraco do que o axioma da escolha, que todas as bases de um determinado espaço de vetor tem o mesmo cardinalidade. Assim espaços vetoriais sobre um determinado campo são fixos até isomorfismo por um único número cardinal (o chamado dimensão do espaço vectorial) representa o tamanho da base. Por exemplo, os espaços vector de dimensão finita reais são apenas R 0, R 1, R 2, R 3, .... A dimensão do real vector espaço R3 é três.

Foi F. Hausdorff quem primeiro mostrou que cada espaço vetorial tem uma base. Andreas Blass mostrou este teorema leva à axioma da escolha.

A base faz com que seja possível expressar cada vector do espaço como uma tupla única dos elementos do campo, embora cuidado deve ser exercido quando um espaço vetorial não tem uma base finita. Espaços vetoriais são por vezes introduzidos a partir deste ponto de vista coordinatised.

Um frequentemente considera espaços vetoriais que também carregam um compatível topologia. Compatível aqui significa que a adição e multiplicação escalar deve ser operações contínuas. Este requisito garante que, na verdade, a topologia dá origem a um estrutura uniforme. Quando a dimensão é infinito, não há geralmente mais do que uma topologia inequivalent, o que faz com que o estudo dos espaços vetoriais topológicos mais ricos do que o vector de espaços gerais.

Apenas em tal espaços vetoriais topológicos se pode considerar somas infinitas de vetores, ou seja, série, através da noção de convergência. Isto é de importância em ambos os matemática pura- e aplicados, por exemplo, na mecânica quântica , onde os sistemas físicos são definidos como Espaços de Hilbert, ou onde Expansões de Fourier são usados.

Mapas lineares

Ver artigo principal: Mapa Linear

Dados dois espaços vetoriais V e W em relação ao mesmo campo F, pode-se definir mapas lineares ou "transformações lineares" de V para W. Estas são funções f: VW que são compatíveis com a estrutura relevante - ou seja, eles preservam somas e produtos escalares. O conjunto de todos os mapas lineares de V para W, denotado Hom F (V, W), é também um espaço vetorial sobre F. Quando ambas as bases de V e W são dadas, mapas lineares podem ser expressos em termos de componentes como matrizes .

Um é um isomorfismo linear mapa f: V \ to W de tal modo que existe um mapa inverso g: W \ to V tal que f \ circ g: W \ to W e g \ circ f: V \ to V são mapas de identidade. Um mapa linear que é tanto um-para-um ( injective) e para ( surjective) é necessariamente um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre V e W, os dois espaços estão a ser dito isomorfos; eles são, então, essencialmente idêntica como espaços vector.

Os espaços vetoriais sobre um campo fixo F, juntamente com os mapas lineares são uma categoria, de fato um categoria abeliana.

Generalizações

De um ponto de vista abstrato, espaços vetoriais são módulos sobre um campo, F. A prática comum de identificação de um v e v um vetor em um espaço faz com que o espaço vetorial de um F - F bimodule. Módulos em necessidade geral não tem bases; aqueles que o fazem (incluindo todos os espaços vector) são conhecidos como módulos livres.

Uma família de espaços vetoriais, parametrizado continuamente por alguns subjacente espaço topológico, é um pacote vetor.

Um espaço afim é um conjunto com um transitivo ação espaço vetorial. Note-se que um espaço de vector é um espaço afim sobre si próprio, pela estrutura do mapa

\ Teta: V ^ 2 \ a V: (a, b) \ mapsto \ Teta (a, b) =: a - b \ ,.

Estruturas adicionais

É comum para estudar espaços vetoriais com certas estruturas adicionais. Isso é muitas vezes necessário para a recuperação de noções comuns de geometria.

  • Um espaço real ou complexa vector com um conceito bem definido de comprimento, ou seja, uma norma, é chamado um espaço vetorial normalizado.
  • Um espaço vectorial normalizado com o conceito bem definido adicional de ângulo é chamado um espaço com produto interno.
  • Um espaço com um vector topologia compatíveis com as operações - de tal forma que a adição e multiplicação por escalar são mapas contínuos - é chamado de espaço vetorial topológico. A estrutura topológica é relevante quando o espaço vetorial subjacente é infinito dimensional.
  • Um espaço vetorial com um adicional bilinear operador definir a multiplicação dos dois vectores é uma álgebra sobre um campo.
  • Um espaço vetorial ordenado.
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