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Capitolo 7.   Le operazioni elementari e il sistema binario

Può essere utile conoscere alcuni concetti legati ai calcoli più semplici, specie quando applicati al sistema binario. In questo capitolo si riepilogano i procedimenti per eseguire le «quattro operazioni» con il sistema binario.

7.1   Complemento alla base di numerazione

Dato un numero n, espresso in base b, con k cifre, il complemento alla base è costituito da b^k-n.

Per esempio, il complemento alla base del numero 00 123 456 789 (espresso in base dieci utilizzando 11 cifre) è 99 876 543 211:

100000000000 -
 00123456789 =
------------
 99876543211

Dall'esempio si deve osservare che la quantità di cifre utilizzata è determinante nel calcolo del complemento, infatti, il complemento alla base dello stesso numero, usando però solo nove cifre (123 456 789) è invece 876 543 211:

1000000000 -
 123456789 =
------------
 876543211

In modo analogo si procede con i valori aventi una base diversa; per esempio, il complemento alla base del numero binario 00110011₂, composto da otto cifre, è pari a 11001101₂:

100000000 -     (in base due)
 00110011 =     (in base due)
---------
 11001101       (in base due)

Il calcolo del complemento alla base, nel sistema binario, avviene in modo molto semplice, se si trasforma in questo modo:

 11111111 -     (in base due)
 00110011 =     (in base due)
---------
 11001100 +     (in base due)
        1 =
---------
 11001101       (in base due)

In pratica, si prende un numero composto da una quantità di cifre a uno, pari alla stessa quantità di cifre del numero di partenza; quindi si esegue la sottrazione, poi si aggiunge il valore uno al risultato finale. Si osservi però cosa accade con una situazione leggermente differente, per il calcolo del complemento alla base di 0011001100₂:

 1111111111 -   (in base due)
 0011001100 =   (in base due)
-----------
 1100110011 +   (in base due)
          1 =
-----------
 1100110100     (in base due)

Per eseguire una sottrazione, si può calcolare il complemento alla base del sottraendo (il valore da sottrarre), sommandolo poi al valore di partenza, trascurando il riporto eventuale. Per esempio, volendo sottrarre da 1 757 il valore 758, si può calcolare il complemento alla base di 0 758 (usando la stessa quantità di cifre dell'altro valore), per poi sommarla. Il complemento alla base di 0 758 è 9 242:

10000 -
 0758 =
-----
 9242

Invece di eseguire la sottrazione, si somma il valore ottenuto a quello di partenza, ignorando il riporto:

  1757 +
  9242 =
------
 10999 -
 10000 =
------
   999

Infatti: 1 757-758=999.

7.2   Addizione binaria

L'addizione binaria avviene in modo analogo a quella del sistema decimale, con la differenza che si utilizzano soltanto due cifre numeriche: 0 e 1. Pertanto, si possono presentare solo i casi seguenti:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 con riporto di 1

Segue l'esempio di una somma tra due numeri in base due:

 10011001 +   (pari a  153 in base dieci)
 00110011 =   (pari a   51 in base dieci)
 --------
 11001100     (pari a  204 in base dieci)

7.3   Sottrazione binaria

La sottrazione binaria può essere eseguita nello stesso modo di quella che si utilizza nel sistema decimale. Come avviene nel sistema decimale, quando una cifra del minuendo (il numero di partenza) è minore della cifra corrispondente nel sottraendo (il numero da sottrarre), si prende a prestito una unità dalla cifra precedente (a sinistra), che così si somma al minuendo con il valore della base di numerazione. L'esempio seguente mostra una sottrazione con due numeri binari:

 10011001 -   (pari a  153 in base dieci)
 00110011 =   (pari a   51 in base dieci)
 --------
 01100110     (pari a  102 in base dieci)

Generalmente, la sottrazione binaria viene eseguita sommando il complemento alla base del sottraendo. Il complemento alla base di 00110011₂ con otto cifre è 11001101₂:

100000000 -   (in base due)
 00110011 =   (in base due)
---------
 11001101     (in base due)

Pertanto, la sottrazione originale diventa una somma, dove si trascura il riporto:

 10011001 +   (pari a  153 in base dieci)
 11001101 =    
 --------
101100110 -   
100000000 =    
---------
 01100110     (pari a  102 in base dieci)

7.4   Moltiplicazione binaria

La moltiplicazione binaria si esegue in modo analogo a quella per il sistema decimale, con il vantaggio che è sufficiente sommare il moltiplicando, facendolo scorrere verso sinistra, in base al valore del moltiplicatore. Naturalmente, lo spostamento di un valore binario verso sinistra di n posizioni, corrisponde a moltiplicarlo per 2ⁿ. Si osservi l'esempio seguente dove si moltiplica 10011001₂ per 1011₂:

    10011001 ×   (pari a  153 in base dieci)
        1011 =   (pari a   11 in base dieci)
    --------
    10011001 +
   10011001  +
  00000000   +
 10011001    =
------------
 11010010011     (pari a 1683 in base dieci)

7.5   Divisione binaria

La divisione binaria si esegue in modo analogo al procedimento per i valori in base dieci. Si osservi l'esempio seguente, dove si divide il numero 10110₂ (22₁₀) per 100₂ (4₁₀):

  10110 : 100 = 101
  100
 ------
   0110
   100
 ------
    110
    100
 ------
     10

In questo caso il risultato è 101₂ (5₁₀), con il resto di 10₂ (2₁₀).

Intuitivamente si comprende che: si prende il divisore, senza zeri anteriori, lo si fa scorrere a sinistra in modo da trovarsi allineato inizialmente con il dividendo; se la sottrazione può avere luogo, si scrive la cifra 1₂ nel risultato; si continua con gli scorrimenti e le sottrazioni; al termine, il valore residuo è il resto della divisione intera.

7.6   Riferimenti

• Mario Italiani, Giuseppe Serazzi, Elementi di informatica, ETAS libri, 1973, ISBN 8845303632

Appunti di informatica libera 2006.01.01 --- Copyright © 2000-2006 Daniele Giacomini -- <daniele (ad) swlibero·org>, <daniele·giacomini (ad) poste·it>

Dovrebbe essere possibile fare riferimento a questa pagina anche con il nome le_operazioni_elementari_e_il_sistema_binario.htm

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