Discusión:Continuidad (matemática)

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Que ocurre con la función

f(x) = 1 / (exp(1 / x) + 1)

Esta función es discontinua en x = 0 con

lim    f(x) = 1
x->0(-)

lim    f(x) = 0
x->0(+)

por tanto, f(0) no existe.

Su derivada

g(x) = f'(x) = exp(1 / x) / ((exp(1 / x) + 1) * x)² sí tiene límite en x = 0

lim g(x)=0
x->0

Aunque no esta definida en g(0), se puede definir g(0) = 0.

Contradice el teorema?

[editar] Estilo de las definiciones

Por cuestión de estilo, en las definiciones se pone si y en los teoremas si y solo si

Por ejemplo:

Definición: una función es continua si la anti-imagen de cada abierto es un abierto.

Teorema: una función es continua si y solo si la anti-imagen de cada entorno es un entorno.

[editar] Respuesta a la cuestión de f(x)=x/(exp(1/x)+1)

La respuesta es no. Como bien dices, no existe g(0). Se puede definir g(0), pero entonces tienes OTRA función, no la misma.

Por otra parte, tú estás trabajando sobre la derivada de la función, no sobre la función. El teorema dice que si una función es derivable en un punto, entonces ESA MISMA FUNCIÓN es continua en el mismo punto. Nada dice de la derivada de la función, ni sobre su continuidad.

Por último, Teorema de Gödell aparte, no se puede encontrar un contraejemplo a un teorema. No sería un teorema.

[editar] Punto de vista general

El artículo, tal y como está ahora es un resumen de un curso sobre continuidad de funciones reales de variable real. Voy a cogerlo entero y meterlo en un apartado que se llame precisamente así (coninuidad de funciones reales de variable real), para poder dar cabida a otros tipos de funciones (variable compleja, varias variables, operadores, funcionales, aplicaciones continuas entre espacios topológicos en general...).

[editar] Fusionar con "Continuos"

He fusionado el artículo Continuos a éste. Copio aquí su discusión:

[editar] Discusión en "Continuos"

Revisar la posible fusión con el artículo Continuidad (matemáticas).Joseaperez 08:00 25 nov, 2004 (CET)

[editar] Sobre el término Continuo

Desde el punto de vista matemático, el término continuo sólo tiene sentido propio cuando se refiere a un conjunto compacto y conexo. Buena parte de la gente confunde continuo con conexo (véase el artículo continuo). El único otro uso que se le da matemáticamente (en castellano) a la palabra es para hablar de cierto tipo de funciones cointinuas, cuando la función tiene, en castellano, un nombre masculino: por ejemplo, se habla de funcionales continuos, de operadores continuos, etc. Pero no es una definición independiente del de función continua, sino que es EXACTAMENTE LA MISMA. Así pues, el término correcto en castellano es "función continua", o si queremos, "continua".

A mi parecer, toda la información que se encuantra en éste artículo puede ser incorporada a la sección de "Funciones reales de una variable real continuas" del artículo "Continuidad (Matemáticas)", por dos razones: se centraliza mejor la información (actualmente parte de la información que aparece en éste artículo no se encuantra en aquél) y porque es el que lleva el nombre correcto desde el punto de vista matemático.

Procedo a copiar allí toda la información no redundante que aparece aquí.

[editar] Sobre definición de continuidad

Creo que no es correcto definir la continuidad en términos de límites, sobre todo porque la continuidad tiene mucho que ver con el hecho de que haya un límite. En efecto, cuando hablamos de límites por la derecha o por la izquierda que se "acercan" a un punto, estamos suponiendo que la función es continua en intervalos cercanos a dicho punto, quizás sin incluirlo.

La definición propia es la siguiente. Sea f una función (real de variable real, se entiende) definida en un intervalo (a,b), y sea c un punto en el dominio de f. Decimos que f es continua en el punto c, si para todo e>0, existe una d>0 tal que |x-c|<d ==> |f(x)-f(c)|<e. Si existe tal d que implique al consecuente anterior, decimos que f es continua en c.

La discontinuidad se define como la negación de la implicación anterior. Saludos.

Hola:

No es cierto lo que dices de que se suponga que la función es continua en intervalos cercanos a un punto cuando definimos la continuidad mediante límites. Si bien es cierto que, estrictamente hablando, la definición de continuidad es exactamente aquella que tú mencionas, ésta es totalmente equivalente a la definición por límites. La razón es un poco técnica, pero sencilla (es decir, que requiere conocimientos serios de Topología, pero en esos términos es muy sencilla de entender): se dice que y₀ es punto límite de f en x₀ si y₀ es punto límite de la base de filtro que se obtiene al tomar las imágenes de la base de filtro formada por los entornos del punto x₀. Traduciendo el lenguaje de entornos al lenguaje de distancias (valor absoluto) se obtiene la definición que mencionas.

Para ver que no se supone continuidad de la función mediante la definición por límites, puedes comprobar que la función: definida por partes como f(x) = 0 si , f(x) = x si (es decir, esta función a cada número irracional le asigna a él mismo, y le asigna el valor 0 a cada número racional) es discontinua en todos los valores excepto en el 0. No existe ni un sólo intervalo (que contenga más de un punto) en el que la función sea continua.

Espero haber solventado tu duda. Saludos.

--Wewe 23:16 27 oct, 2005 (CEST)

[editar] funcion real de variable real

alguien me podria decir como afectan las funciones a nuestra vida diaria? muchas gracias.

Uff. Buena pregunta. Vamos a ver. Aparte de aquellas cosas que en el fondo son funciones pero que conscientemente nadie las trata como tales (ordenar los lápices en un estuche es una permutación, que es un tipo de función, pero a nadie se le ocurre tratar eso como una función), existe una multitud de ejemplos de funciones aplicadas a la vida diaria, sin las cuales las cosas serían realmente distintas.

Por poner tan sólo algunos ejemplos:

1. Transmisiones de comunicaciones mediante ondas electromagnéticas: como por ejemplo la radio, la televisión, la telefonía móvil... Una onda es uno de los ejemplos más patentes de función. Para poder extraer información de una onda se la trata como una función y se opera dicha función (existen distintas operaciones, como la transformada de Fourier, la de Laplace, etc.).

1. Las colas de un supermercado: seguro que todos nos preguntamos cómo se las arreglan las cajeras de los supermercados para dejar vacías las cajas justo cuando hay cola. ¿Por qué no están en su puesto de trabajo? Es más, ¿por qué no las despiden si faltan a su puesto de trabajo justo en esos momentos cuando se acumula la gente en la caja y la cola avanza tan lentamente? Pues resulta que no es ni mucho menos negligencia de las cajeras, sino que cumplen escrupulosamente los horarios que se les imponen. Esos horarios los establecen unas personas que han hecho un estudio estadístico referente a los horarios de compra de la gente, del tiempo que una persona está dispuesta a esperar en una cola antes de decidir dejar allí mismo la compra y volver a casa con las manos vacías, etc. ¿Para qué? Pues para no tener que estar pagando a una cajera para que esté sentada sin hacer nada en los horarios en los que no aparecen clientes, o no son suficientes como para necesitar más de una cajera. Se trata de minimizar los gastos, y estas cuestiones se estudian y solucionan usando funciones.

1. En general, el presupuesto de cualquier empresa de cierto tamaño, los gastos de producción, costes de material, cálculo de beneficios, cálculo del precio máximo al que pueden colocar un cierto producto, etc, se realiza siguiendo un patrón similar al anterior, es decir, calculando máximos y mínimos de funciones.

1. El rumbo de un barco (que transporte por ejemplo petroleo, u ordenadores), de un avión, la trayectoria de un satélite de telecomunicaciones, todas estas cuestiones se deciden usando funciones.

1. Predicción del tiempo meteorológico. Saber la temperatura y la humedad de un lugar a partir de las condiciones que presenta ese lugar en un instante dado, y llegar a determinar la probabilidad de que se produzcan precipitaciones, todo ello se realiza haciendo cálculos con funciones.

Y podría seguir dando ejemplos concretos como para llnar una enciclopedia. Casi cualquier campo de la actividad humana que implique una cierta organización y predicción de los acontecimientos futuros de cierta envergadura se realiza mediante cálculo de funciones. El precio que pagas por cualquier cosa, la cantidad de medicamento que hay en una pastilla, el sueldo que cobras, el voltage que puede circular por un aparato eléctrico... Sin hablar ya de los cálculos necesarios para construir un edificio, un puente, un automovil o símplemente una bicicleta.

Espero que te sirva para aclarater un poco. Saludos.

--Wewe 21:14, 8 noviembre 2005 (CET)