Delta de Dirac

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La delta de Dirac (impropiamente llamada función delta de Dirac) es una distribución introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

En física la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso.

Se escribe como: $\delta_{x_0}(x) \equiv \delta(x-x_0)$
Siendo $\delta(x)\,\!$ para el caso $x_0 = 0 \,\!$

Su definición se realiza como la derivada de una función escalón.

Intuitivamente se puede decir que la función δ(x) tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto y su integral para todas las x es uno.

Tabla de contenidos

1 Definiciones
- 1.1 Definición como distribución de densidad
- 1.2 Definición como límite de sucesiones de funciones
2 Propiedades
- 2.1 Enlaces externos

[editar] Definiciones

La Delta de Dirac es una "función generalizada" que viene definida por la siguiente fórmula integral:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]$

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excpeto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la "definición convencional" dada por:

$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;$

Comúnmente el física la Delta de Dirac se usa como una distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de $δ(x)$ implica que $δ(x)$ posee dimensiones recíprocas a dx.

[editar] Definición como distribución de densidad

$\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix} f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b \\ 0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.$

[editar] Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones f_n(x) converge distribucionalmente cuando:

$\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \to d(\phi)$

Donde $φ$ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones. La Delta de Dirac se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por $d (φ) = φ(0)$ , es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

$\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \to \phi(0)$

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

$\begin{matrix} f_n(x)=\begin{cases} n \quad \|x\|<\frac{1}{2n}\\ 0 \quad \|x\|\ge\frac{1}{2n} \end{cases} & f_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}ne^{-n^2x^2} \\ f_n(x)=\frac{1}{\pi}\frac{n}{n^2x^2+1} & f_n(x)=\frac{\sin nx}{\pi x} \end{matrix}$

[editar] Propiedades

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.