Ecuación de Schrödinger

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La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger en 1925, describe la dependencia temporal de los sistemas mecanocuánticos. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa un papel análogo a las leyes de Newton en la mecánica clásica.

En la mecánica cuántica, el conjunto de todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbert complejo, y cualquier estado instantáneo de un sistema se describe por un vector unitario en ese espacio. Este vector unitario codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.

Usando la notación bra-ket de Dirac, denotamos ese vector de estado instantáneo a tiempo t como |ψ(t)〉. La ecuación de Schrödinger es, entonces:: Schrodinger Equation

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

donde i es el número imaginario unidad, $\hbar$ es la constante de Planck dividida por 2π(constante reducida de Plank), y el Hamiltoniano H es un operador lineal hermítico (auto-adjunto) que actúa sobre el espacio de estados. El hamiltoniano describe la energía total del sistema. Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no la da la ecuación de Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades físicas del sistema cuántico.

Para más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, véase la formulación matemática de la mecánica cuántica.

[editar] La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Para cada hamiltoniano (si la energía potencial es independiente del tiempo), existe un conjunto de estados cuánticos, conocidos como estados propios para la energía que satisfacen la ecuación de valores propios

$H |\psi(x)\rang = E |\psi(x)\rang$

donde $-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(r)$

[editar] Soluciones de la ecuación de Schrödinger

Se pueden obtener soluciones analíticas de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para varios sistemas relativamente sencillos. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y en ocasiones son una aproximación razonable al comportamiento de sistemas más complejos (como en mecánica estadística se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armónicos). Algunas de las soluciones analíticas más comunes son:

Números Cuánticos
La partícula en una caja
La partícula en un anillo
La partícula en un potencial de simetría esférica
El oscilador armónico cuántico
El átomo de hidrógeno
La partícula en una red monodimensional

Sin embargo, para muchos sistemas no hay solución analítica a la ecuación de Schrödinger. En estos casos, hay que recurrir a soluciones aproximadas, como: