Ecuaciones de Euler-Lagrange

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

[editar] Ecuaciones de Euler-Lagrange en física

Artículo principal: acción (física)

En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo, es decir si:

$S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x}(t))dt$

la variación es

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \epsilon{\partial L\over \partial x} - \epsilon{d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x} \right)dt$

y pedir

δ S = 0

para variaciones "cercanas"

será si y solamente si

${\partial L\over\partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}^a} = 0$

donde L es el lagrangiano para el sistema, y $x a$ son las coordenadas generalizadas del sistema. Vea acción (física) para una introducción a este tema.

[editar] Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría

Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x¹, ...xⁿ) sobre una región abierta U de la variedad de Riemann V_R donde el tensor métrico viene dado por la expresión:

$g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \,$

Puesto que dados dos puntos cualquiera de V_R las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para [el cuadrado de] la longitud de una curva:

$s = \int_{a}^{b} \sqrt {\sum_{i,j=1}^n g_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} \quad dt \,$

La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de una integral de acción donde el lagrangiano sea:

$L(x^i,\dot{x}^i) = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j \,$

De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por:

${\partial L\over\partial x^k} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}^k} = {\sum_{i,j=1}^n \left( \frac{1}{2} \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \dot{x}^i \dot{x}^j \right )} - {d\over dt} \sum_{j=1}^n \left ( g_{kj} \dot{x}^j \right )= 0$

La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:

$\sum_{i,j=1}^n \left ( \frac{1}{2} \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \dot{x}^i \dot{x}^j -\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} \dot{x}^i \dot{x}^j \right ) \sum_{j=1}^n -g_{kj} \ddot{x}^k = 0$

Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:

$\sum_{j=1}^n g_{kj} \ddot{x}^j + \sum_{i,j=1}^n \Gamma_{k,ij} \dot{x}^i \dot{x}^j = 0 \qquad \qquad \ddot{x}^j + \sum_{i,j=1}^n \Gamma_{ij}^k \dot{x}^i \dot{x}^j = 0$

Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas del tensor métrico y el tensor inverso del tensor métrico:

$\Gamma_{k,ij} := \left (\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j} -\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} \right ) \qquad \qquad \Gamma_{ij}^k :=\frac{1}{2} \sum_{p=1}^n g^{kp}\Gamma_{p,ij}$