Espacio de configuración

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En mecánica clásica y mecánica lagrangiana, el espacio de configuración es el espacio de posibles estados que el sistema mecánico puede alcanzar. El espacio de configuración de un sistema mecánica tiene estructura de variedad diferenciable, de dimensión m, donde m es el número de grados de libertad del sistema mecánico. Por esa razón a veces también se conoce a este espacio como variedad de configuración.

[editar] Ejemplos

Por ejemplo, el espacio de configuración de una única partícula moviéndose en el espacio tridimiensional euclidiano es simplemente ℝ³. Para N partículas es ℝ^3N. Para un péndulo el espacio de configuración es S¹ ya que la posición del mismo viene dada por un único ángulo (por ejemplo el ángulo respecto a la vertical).

Para dar cuenta no sólo de la posición sino también del momento lineal (o alternativamente la velocidad) se construye el espacio fásico $Γ$ , que matemáticamente viene dado por el fibrado tangente del espacio original. Este fibrado tangente es una variedad de dimensión 2m, siendo m el número de grados de libertad del sistema mecánico. Así podemos dar los siguientes ejemplos de espacios fásicos:

Para una partícula que se mueve en el espacio tridimensional $\Gamma = \mathbb{R}^6 \,$ .
Para N partículas que se mueven en el espacio tridimensional $\Gamma = \mathbb{R}^{6N} \,$ .
Para un péndulo $\Gamma = S^1 \times \mathbb{R}^1$ .

[editar] Cuantización del espacio fásico

En física estadística se emplean distribuciones de probabilidad sobre el espacio fásico, este conjunto distribuciones de probabilidad puede dotarse de estructura de espacio de Hilbert. Es precisamente sobre esta abstracción última que se construye la mecánica cuántica en donde no se emplean espacios de configuración sino directamente espacios de Hilbert. El estado de un sistema cuántico se define como una "función de onda" que no es otra cosa que un elemento o vector de este espacio de Hilbert (concretamente el estado del sistema es una clase de equivalencia de vectores del espacio de Hilbert).