Expansión isotérmica

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Una expansión isotérmica es un proceso en el cual una gas se expande (o contrae), manteniendo la temperatura constante durante dicho proceso, es decir que T₁ = T₂ para los estados inicial (1) y final (2) del proceso isotérmico. Aplicando el primer principio de la termodinámica se obtiene:

d Q = d U + d W

Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:

$\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, dW$ ..........(1)

Por la definición de trabajo dada en mecánica se tiene que:

$dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\;$

Pero la fuerza $\vec F\;$ se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento $d\vec r\;$ se puede escribir como dx, entonces:

$dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\; = PAdx$

Pero Adx equivale a dV, el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

d W = P A d x = P d V

..........(2)

Ahora reemplazando (1) en (2) se puede integrar:

$\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, PdV$ ..........(3)

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso tratado. En este caso, la relación buscada se obtiene directamente de la ecuación de estado de los gases ideales:

$PV = nRT \Longrightarrow \; P = \frac{nRT}{V}$ ..........(4)

Por lo tanto reemplazando (4) en (3) se tiene que:

$\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + \int_{1}^{2} \, \frac{nRT}{V}dV$

Como los valores n y R son constantes para cada gas ideal, y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

$\int_{1}^{2} \, dQ = \int_{1}^{2} \, dU + nRT\int_{1}^{2} \, \frac{dV}{V}$

Ahora integrando:

$[Q]_1^2 = [U]_1^2 + nRT[\ln V]_1^2$

$\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT(\ln V_2 - \ln V_1)$

$\Longrightarrow \; Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )$ ..........(5)

Pero se sabe que la energía interna depende sólo de la temperatura (Ver: La energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante, no hay cambio en la energía interna del gas, por lo que la expresión (5) se reduce a:

$Q_2 - Q_1 = U_1 - U_1 + nRT\ln \left (\frac{V_2}{V_1} \right )$