Factorización LU

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En el álgebra lineal, la descomposición LU es una forma de factorización de una matriz singular como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. A veces se debe premultiplicar la matriz a descomponer por una matriz de permutación. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas

Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Unicidad
3 Algoritmos
4 Aplicaciones
- 4.1 Resolviendo sistemas de álgebra lineal
- 4.2 Matriz Inversa

[editar] Definiciones

Sea A una matriz singular (si no lo fuera, entonces la descomposición podría o no podría ser única)

$A = LU, \,$

donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares.

Para matrices $3 \times 3$ , esto es:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{12} & l_{22} & 0 \\ l_{13} & l_{23} & l_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ \end{pmatrix}$

La descomposición PLU tiene esta forma: $A = PLU, \,$ o también: $P A = L U$ (recordando que las matrices de permutación son invertibles y su inversa es ella misma)

Donde L y U son , de nuevo, dos matrices triangulares inferior y superior respectivamente y P es una matríz de permutación.

[editar] Unicidad

Las matrices L y U son únicas, si la matriz es singular. En caso contrario pueden o no ser únicas.

Demostración:

Dada la matríz A ∈ $R m x n$

$A = L 1 U 1$ y $A = L 2 U 2$

Recordemos que $L 1, U 1, L 2, U 2$ son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:

$L 1 U 1 = L 2 U 2$

${L_{2}}^{-1}L_{1}=U_{2}{U_{1}}^{-1}$

Entonces ${L_{2}}^{-1}L_{1}$ es una matríz triangular inferior, con unos en la diagonal y $U_{2}{U_{1}}^{-1}$ es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matríz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:

${L_{2}}^{-1}L_{1}=I$ y $U_{2}{U_{1}}^{-1}=I$

Con lo cual:

$L 1 = L 2$ y $U 1 = U 2$

[editar] Algoritmos

La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.

$E 1 * E 2 * ... * E n * A = U$

Donde $E 1, E 2,..., E n$ son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matríz elemental, es otra matríz elemental:

$A = E^{-1}_{1}*E^{-1}_{2}*...*E^{-1}_{n}*U$

Llamamos L a $E^{-1}_{1}*E^{-1}_{2}*...*E^{-1}_{n}$ una matríz triangular inferior.

[editar] Aplicaciones

[editar] Resolviendo sistemas de álgebra lineal

Dada la ecuación matricial

A x = L U x = b

Queremos la solución para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes:

Primero, resolvemos $L y = b$ para y
Segundo, resolvemos $U x = y$ para x.

Nótese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez.

[editar] Matriz Inversa

Las matrices L y U pueden ser usadas para calcular la matríz inversa. Algunas implementaciones que invierten matrices usan este método.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../f/a/c/Factorizaci%C3%B3n_LU_ada0.html"

Categorías: Álgebra lineal | Matrices

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[editar] Algoritmos

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[editar] Resolviendo sistemas de álgebra lineal

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