Geometría euclidiana

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Se denomina geometría euclidiana (término usado para distinguirla de la Geometría Euclídea, que es la que exige el postulado de las paralelas) a la geometría recopilada por el matemático griego clásico Euclides, en su libro "Los elementos", escrito alrededor de 300 años A.C.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

[editar] Axiomática

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluído el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica (dada una recta y un punto exterior a ella no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica (dadso ambos, existen varias rectas paralelas a la dada que pasen por el punto).

[editar] Limitaciones

Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción)
Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual son iguales (equivale al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)