Lema de Zorn

De Wikipedia, la enciclopedia libre

El lema de Zorn, también conocido como el lema de Kuratowski-Zorn, es un teorema en teoría de conjuntos que establece que:

Todo conjunto parcialmente ordenado en el que toda cadena (es decir, subconjunto totalmente ordenado) tiene un límite superior, contiene al menos un elemento maximal.

Está nombrado en honor al matemático Max Zorn.

Tenemos un conjunto X y definida en él una relación de orden, es decir una relación R que es transitiva (si xRy e yRz entonces xRz) y antisimétrica (si xRy e yRx entonces x = y). (Al leer R conviene imaginarse un signo "menor o igual").

El orden no tiene por qué ser total, es decir, puede ocurrir que haya pares de elementos no relacionados entre sí. El ejemplo típico es X igual a alguna familia de conjuntos y R igual a la inclusión (amplia) de conjuntos.

Se define una cadena en X como un subconjunto Y de X tal que en Y el orden R sea total (es decir dados dos elementos x, y de Y siempre ocurre que xRy o yRx).

Dada una cadena Y, un "supremo" de ella es un elemento s de X tal que s es mayor o igual que cualquier elemento de Y (o sea, xRs para todo x de Y).

Finalmente, un "elemento maximal" de X es un elemento m de X tal que no puede existir en X ningún elemento mayor que él. O sea, si mRx entonces m = x. En este punto suelen producirse confusiones: no es cierto necesariamente que m sea mayor que todos los elementos de X, pues puede ocurrir que no sea comparable con algunos de ellos. El elemento m es mayor que todos aquellos x que sean comparables con él.

Un ejemplo es éste: consideremos como X el círculo de radio 1 centrado en el origen. Decimos que un punto p es menor o igual que q (pRq) si ambos están en el mismo radio y q está más cerca del borde (su distancia al origen es mayor o igual que la de p). Si dos puntos no están en el mismo radio entonces no son comparables.

Cualquier conjunto de puntos contenido en un radio es una cadena.

Los puntos del borde son maximales (cada uno de ellos). Aunque no son mayores que todos los puntos de X (no son comparables con muchos de ellos) sí son mayores que cualquier punto comparable con ellos.

Finalmente, el lema de Zorn dice que si en un conjunto X toda cadena admite supremo (en X) entonces X contiene algún elemento maximal.