Ley de la inversa del cuadrado

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La ley de la inversa del cuadrado o ley cuadrática inversa refiere a algunos fenómenos físicos cuya intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al centro donde se originan. En particular, se refiere a fenómenos ondulatorios (sonido y luz) y campos centrales.

En mecánica ondulatoria la ley de la inversa del cuadrado establece que para una onda como, por ejemplo, el sonido o la luz, que se propaga desde una fuente puntual en todas direcciones por igual, la intensidad de la misma disminuye de acuerdo con el cuadrado de la distancia a la fuente de emisión. Esta ley se aplica naturalmente a la intensidad sonora y a la intensidad de luz (iluminación), puesto que tanto el sonido como la luz son fenómenos ondulatorios. A distancias suficientemente grandes de los emisores de luz o sonido, estos pueden ser vistos como fuentes puntuales. Por ejemplo, si se considera una fuente de luz pequeña y se hacen mediciones de la intensidad lumínica a una distancia d y a una distancia 2d, en el primer caso la intensidad es [(1/d)/(1/2d)]² = 4 veces mayor que en el segundo.

En teoría clásica de campos, en particular en campos centrales, la intensidad de campo también está gobernada por una ley de la inversa del cuadrado. Típicamente se observa en:

La ley de la gravitación universal de Isaac Newton.
El campo eléctrico creado por una carga puntual.

El hecho de que los campos centrales está relacionado con que el espacio tiene tres dimensiones espaciales. Puede probarse que todo campo central que responde a la ecuación de Poisson en un espacio de D dimensiones decrece como 1/r^D-1.

[editar] Deducción de la ley inversa para ondas

La ley de la inversa del cuadrado para la intensidad de una onda sonora lumínica o de otro tipo puede ser deducida rigurosamente a partir de la ecuación de onda (1) y la definición de intensidad (2), tal como sigue. Se parte de las siguientes ecuaciones:

$\nabla^2 \Psi -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0 \qquad (1)$

$I = <\Psi^2(r,t)>_t \, \qquad (2)$

Para una onda esférica emitida por una fuente puntual, Ψ sólo depende de la distancia r al centro de emisión y por tanto escribiendo el operador laplaciano que aparece en la ecuación de onda (1) en coordenadas esféricas para Ψ = Ψ(r,t) se tiene:

$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial \Psi}{\partial r} \right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0 \qquad (1')$

La solución de la ecuación de onda anterior, con c = ω/k, es:

$\Psi(r) = \frac{A_0}{r} \cdot sin(\omega t - kr + \alpha)$

Se puede aplicar la ecuación (1) para la intensidad o promedio cuadrático temporal <Ψ²>_t es igual a:

$I = \frac{A_0^2}{r^2}$

Es decir, este último resultado muestra que la intensidad decrece con el cuadrado de la distancia al centro emisor, que es lo que se pretendía probar.

[editar] Deducción de la ley inversa para campos centrales

Si V(r) es un campo central y, por tanto, con simetría esférica, generado por una densidad de carga ρ o de masa concentrada y que satisface la ecuación de Poisson (3), entonces el campo para distancias grandes de la fuente viene dado por la ecuación:

$\nabla^2 V(r) = 0 \qquad (3)$

Que escribiendo en coordenadas esféricas el operador laplaciano para un espacio de D dimensiones nos lleva a:

$\frac{1}{r^{D-1}} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^{D-1}\frac{\partial V(r)}{\partial r} \right) = 0 \qquad (3')$

La solución de esa ecuación se puede calcular muy fácilmente y es precisamente:

$V(r) = \frac{k_c p}{r^{D-2}}$

Donde k_c es la constante del campo, p el valor total de la fuente (masa o carga total de la fuente que crea el campo) y D el número de dimensiones del espacio. Para un espacio tridimensional D = 3, el campo de fuerzas descrito por (3) viene dado por:

$\mathbf{F}(r)= \mathbf{\nabla}V(r) = \frac{k_c p}{r^{2}} \mathbf{\hat r}$

$p = \frac{1}{k_c} \int_{Vol(r)} \rho \quad dV$

Es decir, un campo con simetría esférica descrito por el potencial (3) en un espacio de tres dimensiones debe decrecer según la ley inversa del cuadrado.