Números hiperreales
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Los números hiperreales o reales no estándar, son una extensión de los números reales 
, en dónde se añaden números infinitamente grandes así como números infinitesimales.
El estudio de estos números, sus funciones y propiedades se llama análisis no estándar el cual, para muchos, es más intuitivo que el análisis real estándar.
Cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron los diferenciales, ellos estaban usando infinitesimales y éstos también fueron usados por Leonhard Euler y Augustin Louis Cauchy.
Sin embargo, estos conceptos, desde el principio, no fueron muy bien vistos. Hasta la definición del límite con 'epsilon' y 'delta' por Cauchy y Weierstrass no fueron tomados en serio.
El análisis no estándar fue desarrollado hace unos escasos 30 años.
El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infintesimales. Estos números, llamados hiperreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero eso sí, de un modo totalmente intuitivo. Se siguió empleándolos hasta bien entrado el siglo dieciocho, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que hizo inútil los infinitesimales. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.
Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).
La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.
Porque no era el método adecuado.
La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción.
Concretamente, se inventó un nuevo predicato unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.
Luego se impusó tres condiciones a este predicato (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estandares con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos. Toda una hazaña.
Veámoslo más en detalle:
Una propiedad o proposición es estándar si es clásica es decir que no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Puede parecer paradójico, mas no lo es.
La propiedad de transferencia es la siguiente:
- Si para cualquier x estándar, P(x) es cierto (P es una proposición estándar) entonces P(x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):
Está propiedad significa que todas las reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se generalizan (sin cambio) en los conjuntos no estándares. O sea, no hay que demostrarlos de nuevo. Por ejemplo, sea P(x) la proposición: x>0 y existe y tal que 0<y<x.
Sabemos que P(x) es siempre cierta en los reales usuales. P es además una proposición clásica (estándar). en consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.
La propiedad de idealización es la siguiente: (con P una proposición estándar)
- Si para todo x estándar existe un y tal que P(x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P(x, y) sea cierta:
Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.
Por ejemplo, tomemos el P anterior: P(x, y) significa: x>0 y 0<y<x. Sabemos que para cualquier x>o estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x>0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal.
De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos).
La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés aquí.
Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad en el punto x:
- Expresión clásica:
- Expresión en análisis no estándar:
La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica.
En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir, bajar la complejidad de las fórmulas.
