Programación lineal

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Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Tabla de contenidos

1 Las variables
2 Restricciones
3 Función Objetivo
4 Programación entera
5 Aplicaciones
6 Caso curioso

[editar] Las variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero. $\ X _i > 0$ ó $\ X _i = 0$

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

[editar] Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1: $A_j = \sum_{i=1}^N a_{i,j} * X_i$

Tipo 2: $B_j <= \sum_{i=1}^N b_{i,j} * X_i$

Tipo 3: $C_j => \sum_{i=1}^N c_{i,j} * X_i$

Donde:

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;
B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

[editar] Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

$Max! = \sum_{i=1}^N f_{i} * X_i$

$Min! = \sum_{i=1}^N f_{i} * X_i$

Donde:

f = coeficientes conocidos.

[editar] Programación entera

En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales.

[editar] Aplicaciones

Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.

Aprovechamiento optimal de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.

Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;

Solución de problemas de transporte.

[editar] Caso curioso

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables, un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables, en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.

Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;
La mina "b" otras 40 t/día; y,
La Mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

La central "d" consume 40 t/día de carbon; y,
La central "e" consume 60 t/día

Los costos, de mercado, de transporte por tonelada son:

De "a" a "d" = 2 monedas
De "a" a "e" = 11 monedas
De "b" a "d" = 12 monedas
De "b" a "e" = 24 monedas
De "c" a "d" = 13 monedas
De "c" a "e" = 18 monedas

Si preguntáramos a una asamblea de pobladores de la zona, como organizar el transporte, con certeza, la gran mayoría opinaría que debemos aprovechar el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d" , porque es mucho más conveniente que los otros.

En este caso, el costo total del transporte seria:

Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas
Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas
Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas
Total 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal tendríamos las siguientes ecuaciones:

Restricciones de la producción:

$X_{a \to d} + X_{a \to e} \le 40$	$[ \mbox{T/dia} ] \,\!$
$X_{b \to d} + X_{b \to e} \le 40$	$[ \mbox{T/dia} ] \,\!$
$X_{c \to d} + X_{c \to e} \le 20$	$[ \mbox{T/dia} ] \,\!$

Restricciones del consumo:

$X_{a \to d} + X_{b \to d} + X_{c \to d} \ge 40$	$[ \mbox{T/dia} ] \,\!$
$X_{a \to e} + X_{b \to e} + X_{c \to e} \ge 60$	$[ \mbox{T/dia} ] \,\!$

La función objetivo será:

$2X_{a \to d} + 11X_{a \to e} + 12X_{b \to d} + 24X_{b \to e} + 13X_{c \to d} + 18X_{c \to e} = Min!$

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta:

X_b-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas
X_a-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas
X_c-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas
Total 1.280 monedas.

Reflexiones que surgen del problema:

Es discutible la conveniencia de tomar decisiones por consenso en cuestiones estrictamente técnicas;
Es discutible la aplicación de la intuición en el caso de problemas con más de 4 variables;
Una vez conocida la solución del problema lineal, generalmente le resulta casi evidente al analista que ésa es la solución correcta, si bién no la veía antes.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../p/r/o/Programaci%C3%B3n_lineal.html"

Categorías: Matemática | Ingeniería | Recursos hídricos | Optimización | Investigación Operativa

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