Radical de un ideal

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En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

[editar] Definición de radical de un ideal.

Sea $R$ un Anillo conmutativo y sea $I$ un ideal del anillo. El conjunto $\sqrt{I}:= \{r \in R | \exist n \in \mathbb{N}, r^n \in I\}$ (también denotado por $R a d (I)$ ) se denomina radical del ideal $I$ (o sencillamente radical de $I$ ).

Si $a \in Rad(I)$ es que existe un entero $n \geq 0$ tal que $a^n \in I$ . Así, si $r \in R$ es $(a r)^n = a^n r^n \in I$ .

Si además $b \in Rad(I)$ existirá otro entero $m \geq 0$ de manera que $b^m \in I$ .

Por el Teorema del binomio:

$(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}$

Si $i < n$ entonces es $n + m - i > n + m - n = m$ , luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$ , y así $a^i b^{n+m-i}=a^i (b^m)^{n+m-i-m} \in I$ .

Si $i \geq n$ entonces es $a^i b^{n+m-i} = (a^n)^{i-n} b^{n+m-i} \in I$ ya que $a^n \in I$ .

En cualquier caso, cada sumando de $(a + b) n + m$ está en $I$ , que es un ideal de $R$ , luego $(a+b)^{n+m} \in I$ y será $a+b \in Rad(I)$ .

Así $R a d (I)$ es un ideal de $R$ .

Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si $R a d (I) = I$ . Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si $P$ es un ideal primo, entonces $R / P$ es un dominio íntegral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos $\pi:R \longrightarrow R/I$ la proyección canónica de $R$ sobre $I$ , entonces $R a d (I) = π - 1 (N (R / I))$ (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que $R a d (I)$ es un ideal de $R$ ; aquí, $N (R)$ es el nilradical de $R$ , definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si $r \in \pi^{-1}(N(R/I))$ , entonces para algún $n \geq 0$ , $π(r) n = π(r n)$ es cero en $R / I$ , y por tanto $r n$ está en $I$ . Recíprocamente, si $r n$ está en $I$ para algún $n \geq 0$ será $r^n \in I$ , entonces $(π(r)) n = π(r n)$ es cero en $R / I$ , y por tanto $π(r)$ está en $N (R / I)$ .

Mediante el uso de la localización, podemos ver que $R a d (I)$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$ que contienen a $I$ : cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a $I$ contienen a $R a d (I)$ . Si $r$ es un elemento de $R$ que no está en $R a d (I)$ , entonces sea $S$ el conjunto $\{r^n: n \in \mathbb{Z}, n > 0 \}$ . $S$ es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización $S - 1 R$ .

[editar] El nilradical.

Sea $R$ un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de $R$ forman un ideal $N$ . Sean $a$ y $b$ elementos nilpotentes de $R$ con $a n = 0$ y $b m = 0$ . Probamos que $a + b$ es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

$(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}$

Para cada $i$ , se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

$i \geq n$
$n+m-i \geq m$

Esto dice que en cada expresión $a^i \cdot b^{n+m-i}$ , o bien el exponente de $a$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i < n$ entonces es $n + m - i > n + m - n = m$ , luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$ , y así $a^i b^{n+m-i}=a^i \cdot(b^m)^{n+m-i-m}=a^i 0^{n-i}=0$ ), o bien el exponente de $b$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i \geq n$ entonces es $a i b n + m - i = (a n) i - n b n + m - i = 0 i - n b n + m - i = 0$ ). Así tenemos que $a + b$ es nilpotente, y por tanto está en $N$ .

Para terminar de comprobar que $N$ es un ideal, cogemos un elemento arbitrario $r \in R$ . $(r \cdot a)^n = r^n \cdot a^n = r^n \cdot 0 = 0$ , así que $r \cdot a$ es nilpotente, y está por tanto en $N$ . Con lo que $N$ es un ideal.

$N$ se denomina entonces nilradical de $R$ , o radical nilpotente de $R$ , y se denota por $N (R)$ . Al anillo $\frac{R}{N(R)}$ se le denomina anillo reducido (asociado a $R$ ), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que $N (R / N (R)) = {0}$ .

Es sencillo demostrar que $N (R) = R a d ({0})$ , esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de $R$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$ .

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Categoría: Teoría de anillos

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[editar] El nilradical.

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