Sistemas dinámicos y teoría del caos

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Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos es la rama de las Matemáticas que trata acerca del comportamiento cualitativo a largo plazo de un sistema dinámico. No se trata de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo, se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si cambian las condiciones iniciales?"

Uno de los objetivos importantes aquí es describir los puntos fijos, o puntos estables de un sistema dinámico dado; son los valores de la variable que son constantes en el tiempo. Algunos de estos puntos son atractores, lo que significa que si el sistema 'arranca' en un estado cercano, convergerá hacia este punto fijo.

También nos interesan los puntos periódicos, o estados del sistema que se repiten una y otra vez. Los puntos periódicos también pueden ser atractores. El teorema de Sarkovskii describe el número de puntos periódicos en un sistema dinámico discreto unidimensional.

Incluso sencillos sistemas dinámicos no lineales suelen comportarse de forma complicada y completamente impredecible; esto se suele llamar caos. La rama de los sistemas dinámicos que trata con la definición e investigación del caos se llama teoría del caos.

No hay una única definición para un sistema dinámico caótico, pero en todo caso el comportamiento complicado del sistema se refleja en la existencia de puntos periódicos en cualquier pequeña porción del espacio en el que toma valores la variable, y la existencia de condiciones iniciales que al paso del tiempo toman valores muy cercanos a cualquiera de los valores que puede tomar la variable.

Hay una novísima investigación, alrededor de mediados de la anterior década, dedicada al encuentro entre las Ciencias sociales y la Teoría del caos. Encontrando la vía de los sistemas dinámicos de las matemáticas con la estructura de los sistemas sociales. Este tercer paradigma de las matemáticas y las probabilidades ha tomado el método de crear series aleatorias y analizarlas como distribuciones normales. Las series que pasen las pruebas de normalidad y que eran pseudoaleatorias, ahora son predictoras y obviamente caóticas, porque se hace la hipótesis de que también pasan la prueba de las propiedades de caoticidad y serían aplicables a muestreos en sistemas sociales con conductas caóticas.