Teoría de flujo potencial

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Sea un flujo de algún fluido incomprensible, en el cual su viscosidad sea cero o despreciable y sea irrotacional, éste puede representarse por medio de una función potencial $φ$ cuyo gradiente sea el campo de velocidades que presenta el flujo a través de su distribución, o sea:

$\nabla\phi=-\vec{V}$

Los componentes en $x$ y en $y$ de $\vec{V}$ serán $u$ y $v$ respectivamente para este artículo.

El Flujo Potencial incomprensible es válido para número de Mach menores a 0,3.

Junto con la función $φ$ , también se define la función corriente, $ψ$ , la cual se define como aquella que cumple las siguientes condiciones:

$\frac{\partial \psi}{\partial y}=-u$

$\frac{\partial \psi}{\partial x}=v$

Esta definición implica que $φ$ y $ψ$ cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann y que forman una red ortogonal, es decir, en todo punto dos líneas de potencial y de corriente constantes serán ortogonales.

[editar] Algunos Patrones de Flujo Simple

[editar] Flujo Uniforme

Un flujo el cual sea uniforme en una misma dirección cumple con que $\vec{V}=U_{0}\hat{n}$ donde $\hat{n}$ es la dirección del flujo. Si tomamos esta dirección como la del eje $x$ , optendremos que el campo de velocidades estará dado por:

$\vec{V}=U_{0}\hat{i}$

Con lo cual podremos encontrar la función potencial integrando:

$\phi=-\int U_{0} dx +f(y)$

Sabiendo que $\frac{\partial \phi}{\partial y}=0$ y que no existe componente vertical de la velocidad en ningún punto del flujo tenemos:

$\phi=-\int U_{0} dx + C_1$

En esta ecuación podemos tomar la constante de integración igual a cero. Quedando las funciones potencial y corriente como:

$φ = - U 0 x$

$ψ = - U 0 y$

[editar] Fuentes y Sumideros

Una fuente o un sumidero de algún fluido tiene la particularidad de que el flujo sólo sale o entra, lo que implica que el vector velocidad para cada punto del flujo será colineal al origen para ambos casos. Es mucho más sencillo hallar esta función potencial usando coordenadas polares. Así:

$v_r = \frac{Q}{2\pi r}$