Teorema del coseno
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[editar] Enunciado
El teorema del coseno dice que «el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:
[editar] Demostración
1. Si el ángulo opuesto es agudo.
Considérese un triángulo como el siguiente:
Por el Teorema de Pitágoras:
- a2 = h2 + (c − m)2[1]
- b2 = h2 + m2, lo que implica que h2 = b2 − m2[2]
Reemplazando [2] en [1]:
- a2 = b2 − m2 + (c − m)2
Desarrollando:
- a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm
Simplificando:
- a2 = b2 + c2 − 2cm
Finalmente, sabiendo que
, se deduce:
2. Si el ángulo opuesto es obtuso.
Partiendo de otro punto de vista se resuelve análogamente al caso anterior:
Por el Teorema de Pitágoras:
- a2 = h2 + (c + m)2
- b2 = m2 + h2, por lo que h2 = b2 − m2
Reemplazando, desarrollando y simplificando:
- a2 = b2 − m2 + (c + m)2
- a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm
- a2 = b2 + c2 + 2cm
Teniendo en cuenta que:
, por las identidades trigonométricas: :
Y llegamos a la misma conclusión que antes:
[editar] Véase también
