Traza parcial

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En el álgebra lineal y el análisis funcional, la traza parcial es una generalización de la traza. Mientras que la traza es una función a valores escalares sobre operadores, la traza parcial es una función operador-valorada. La traza parcial tiene usos en la interpretación de estados relativos (Many-worlds) de la mecánica cuántica.

Tabla de contenidos

1 Los detalles
2 Traza parcial para los operadores en los espacios de Hilbert
- 2.1 Computando la traza parcial
3 Traza parcial e integración invariante

[editar] Los detalles

Supóngase V, W son espacios vectoriales sobre un cuerpo finito-dimensionales de dimensiones m, n respectivamente. La traza parcial Tr_V es una función

$\operatorname{L}(V \otimes W) \ni T \mapsto \operatorname{Tr}_V(T) \in \operatorname{L}(V)$

Se define como sigue: sea

$e_1, \ldots, e_m$

$f_1, \ldots, f_n$

bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial

$\{a_{k \ell, i j}\} \quad 1 \leq k, i \leq m, 1 \leq \ell,j \leq n$

relativo a la base

$e_k \otimes f_\ell$

$V \otimes W$ .

Ahora para los índices k, i en el rango 1,...,m, considérese la suma:

$b_{k, i} = \sum_{j=1}^n a_{k j, i j}.$

esto da una matriz b_{k, i}. El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de bases y es por definición la traza parcial.

Por ejemplo,

$\operatorname{Tr}_V(R \otimes S) = R \, \operatorname{Tr}(S) \quad \forall R \in \operatorname{L}(V) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W)$

el operador de traza parcial puede ser caracterizado invariantemente como sigue: Es el único operador lineal

$\operatorname{Tr}_V: V \otimes W \rightarrow V$

tal que

$\operatorname{Tr}_V (1_{V \otimes W}) = \dim W \ 1_{V}$

$\operatorname{Tr}_V (T (1_V \otimes S)) = \operatorname{Tr}_V ((1_V \otimes S) T) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W) \quad \forall T \in \operatorname{L}(V \otimes W)$

[editar] Traza parcial para los operadores en los espacios de Hilbert

La traza parcial se generaliza a los operadores en los espacios de Hilbert infinito dimensionales. Supóngase V, W son espacios de Hilbert, y sea

$\{f_i\}_{i \in I}$

una base ortonormal para W. Hay un isomorfismo isométrico

$\bigoplus_{\ell \in I} (V \otimes \mathbb{C} f_\ell) \rightarrow V \otimes W$

Bajo esta descomposición, cualquier operador $T \in \operatorname{L}(V \otimes W)$ se puede mirar como matriz infinita de operadores en V

$\begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \ldots & T_{1 j} & \ldots \\ T_{21} & T_{22} & \ldots & T_{2 j} & \ldots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ T_{k1}& T_{k2} & \ldots & T_{k j} & \ldots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \end{bmatrix}$

primero supóngase que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz antedicha son operadores no negativos en V. Si la suma

$\sum_{\ell} T_{\ell \ell}$

converge en la topología fuerte de operadores de L(V), es independiente de la base elegida de W. La traza parcial Tr_V(T) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto está definida ssi las trazas parciales de las partes positiva y negativa están definidas.

[editar] Computando la traza parcial

Supóngase que W tiene una base ortonormal, que denotamos por la notación vectorial de ket como $\{| \ell \rangle\}_\ell$ . Entonces

$\operatorname{Tr}_V\left(\sum_{k,\ell} T_{k \ell} \, \otimes \, | k \rangle \langle \ell |\right) = \sum_j T_{j j}$

[editar] Traza parcial e integración invariante

En el caso de los espacios de Hilbert finito dimensionales, hay una manera útil de ver la traza parcial que implica la integración con respecto a una medida de Haar convenientemente normalizada μ sobre el grupo unitario U(W) de W. Convenientemente normalizada significa que μ se toma como una medida con masa total igual a la dim(W).

Teorema. Supóngase V, W son espacios de Hilbert finito dimensionales. Entonces

$\int_{\operatorname{U}(W)} (1_V \otimes U^*) T (1_V \otimes U) \ d \mu(U)$

conmuta con todos los operadores de la forma $1_V \otimes S$ y por tanto es unívocamente de la forma $R \otimes 1_W$ . El operador R es la traza parcial de T.