Wikipedysta:Alef/brudnopis
Z Wikipedii
Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała :
Dla każdego istnieje jedyne ciało GF(3k) o 3k elementach. Na przykład, ciało GF(32) można reprezentować jako , gdzie α2 = 2.
Dla każdego , wtedy i tylko wtedy, gdy m jest dzielnikiem liczby n. Więc dla każdego m,n można znaleźć skończone ciało C obejmujące GF(3m) i GF(3n), np ciało GF(3mn). Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał GF(3n) jest znowu ciałem, który nazywamy .
Każdy wielomian z współczynnikami w ciele ma w rzeczywistosci współczynniki w pewnym ciele skonczonym GF(3n), więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała GF(3n); to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn pewne ciało .
Więc ciało (zbiór nieskończony ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.