Algorytm Edmondsa-Karpa

Z Wikipedii

Algorytm Edmondsa-Karpa jest jedną z realizacji metody Forda-Fulkersona rozwiązywania problemu maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Jego złożoność czasowa wynosi O(VE²), jest zatem wolniejszy od innych znanych algorytmów przepływowych działających w czasie O(V³), takich jak algorytm relabel-to-front, czy algorytm trzech Hindusów. W praktyce jednak złożoność pesymistyczna rzadko jest osiągana, co w połączeniu z prostotą czyni algorytm Edmondsa-Karpa bardzo użytecznym, szczególnie dla grafów rzadkich.

Algorytm ten został odkryty przez rosyjskiego naukowca, E. A. Dinica w roku 1970^[1], i niezależnie przez Jacka Edmondsa i Richarda Karpa w roku 1972.^[2]. Artykuł Dinica zawiera dodatkowe techniki, które obniżają czas działania do O(V²E) (algorytm z tą poprawką nazywa się obecnie algorytmem Dinica).

Spis treści 1 Algorytm 2 Poprawność i złożoność 3 Przykład 4 Zobacz też 5 Bibliografia 6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Algorytm

Idea algorytmu jest identyczna z ideą metody Forda-Fulkersona, z dodatkowym warunkiem: ścieżka powiększająca, którą szukamy w każdym kroku algorytmu, musi być najkrótsza, czyli zawierać minimalną możliwą liczbę (nie wagę!) krawędzi. Taką ścieżkę znajduje się uruchamiając algorytm przeszukiwania grafu wszerz w sieci residualnej.

algorytm Edmonds-Karp
  wejście
    c[u,v] //pojemności krawędzi
    s,t    //źródło i ujście
  wyjście
    f[u,v] //maksymalny przepływ
  // stworzenie sieci residualnej
  dla każdej krawędzi(u,v)
    r[u,v] := c[u,v] - f[u,v]
  ścieżka := true
  dopóki ścieżka wykonaj
    // znalezienie najkrótszej ścieżki z s do t w sieci residualnej
    p := BFS(r[],s,t)
    jeżeli ścieżka nie istnieje
      ścieżka := false
    w przeciwnym wypadku
      // powiększenie przepływu na ścieżce p 
      a := min {r[u,v] : (u,v) należące do p}
      dla każdej krawędzi (u,v) należącej do p
        f[u,v] = f[u,v]+a
        r[u,v] = r[u,v]-a

[edytuj] Poprawność i złożoność

Poprawność algorytmu wynika wprost z twierdzenia Forda-Fulkersona: po zakończeniu działania w grafie nie może być ścieżki powiększającej, przepływ jest więc maksymalny. Przystępny dowód oszacowania złożoności czasowej można znaleźć w ^[3], opiera się on na fakcie, że długość ścieżki powiększającej nie może maleć, a utrzymywać się na tym samym poziomie może przez co najwyżej O(E) kroków algorytmu (czyli jest co najwyżej O(VE) kroków, jako że długość ścieżki nie przekroczy V).

[edytuj] Przykład

Dana jest następująca sieć przepływowa:

Wierzchołek A jest źródłem, G ujściem. Pary liczb f / c na krawędziach oznaczają odpowiednio bieżący przepływ i maksymalną pojemność krawędzi. Pojemność residualna krawędzi z u do v to r[u,v] = c[u,v] − f[u,v], pojemność maksymalna zmniejszona o aktualny przepływ. Należy zwrócić uwagę na to, że f[u,v] może być ujemne, co powiększa pojemność krawędzi.

Opis	Znaleziona ścieżka
	Sieć po powiększzeniu
Najkrótsza powiększająca ścieżka ma długość 3 i składa się z krawędzi AD (pojemność residualna 3-0 = 3), DE (2-0 = 2), i EG (1-0 = 1). Minimalna pojemność residualna to 1, powiększamy zatem przepływ na tej ścieżce o 1.	A,D,E,G
Najkrótsza ścieżka: AD (3-1 = 2), DF (6-0 = 6), FG (9-0 = 9). Minimalna pojemność residualna: 2.	A,D,F,G
Najkrótsza ścieżka: AB (3-0 = 3), BC (4-0 = 4), CD (1-0 = 1), DF (6-2 = 4), FG (7-2 = 5). Minimalna pojemność residualna: 1.	A,B,C,D,F,G
Najkrótsza ścieżka: AB (3-1 = 2), BC (4-1 = 3), CE (2-0 = 2), ED (0-(-1) = 1), DF (6-3 = 3), FG (9-3 = 6). Minimalna pojemność residualna: 1. Krawędź ED nie występuje w oryginalnym grafie (jej pojemność to 0), jest jednak obecna w sieci residualnej - przepływ na niej wynosi -1, gdyż przepływ na DE wynosi 1. Stąd pojemność residualna ED jest równa 1 i możemy tej krawędzi użyć w ścieżce powiększającej.	A,B,C,E,D,F,G

W powstałej sieci nie ma już ścieżek powiększających, zatem znaleziony przepływ o wielkości 5 jest maksymalny. Przykład dobrze ilustruje podstawową własność algorytmu Edmondsa-Karpa: długości ścieżek powiększających w kolejnych krokach nie mogą maleć.

[edytuj] Zobacz też

• problem maksymalnego przepływu
• metoda Forda-Fulkersona

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ E. A. Dinic, Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation, Советский мат, том 11, Доклады 1970
2. ↑ Jack Edmonds, Richard Karp, Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems, Journal of the ACM, volume 19/1972, 248-264 (http://www.akira.ruc.dk/~keld/teaching/algoritmedesign_f03/Artikler/08/Edmonds72.pdf)
3. ↑ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford Wprowadzenie do algorytmów, wyd. 7, WNT 2007, ISBN 83-204-3149-2.

[edytuj] Linki zewnętrzne

Algorytm Edmondsa-Karpa na wazniak.mimuw.edu.pl