Całkowanie numeryczne
Z Wikipedii
Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest mniej lub bardziej synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.
Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.
Spis treści |
[edytuj] Metoda prostokątów
Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):
Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale (x * ,x * + h), reguła taka da dobre przybliżenie całki.
[edytuj] Metoda trapezów
Metoda daje zazwyczaj lepsze przybliżenie niż metoda prostokątów, ale wymaga policzenia wartości funkcji w 2 punktach.
[edytuj] Metoda parabol (Simpsona)
Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn
dla uproszczenia oznaczamy:
- xi = a + ih oraz fi = f(xi)
wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:
dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:
[edytuj] Metody losowe
Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.
Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla f(x) > 0 i odjęciu pola nad wykresem dla f(x) < 0
- probabilistyczna
xi jest losowo wybierane z przedziału < a,b >
n określa liczność próbki.
[edytuj] Przykład - metoda prostokątów
Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:
Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:
co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.
Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:
Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.
Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie:
Ilość części | Wynik | Błąd |
---|---|---|
1 | 0.8775825619 | 0.0361115771 |
2 | 0.8503006452 | 0.0088296604 |
4 | 0.8436663168 | 0.0021953320 |
8 | 0.8420190672 | 0.0005480824 |
[edytuj] Przykład 2
Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg sin(t) na przedziale od 0 do [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez fp [Hz].
Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału wynosi 1. Niech Xi(t) oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz Xi można obliczyć jako sumę częściową:
Im mniejsza średnica podziału (wyższa częstotliwość próbkowania), tym wynik dokładniejszy.
Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: poniższe zdanie jest niejasne (patrz dyskusja) |
Uwaga: po scałkowaniu amplituda przebiegu wzrasta, tym bardziej, im mniejsza średnica podziału.
[edytuj] Linki zewnętrzne
- Całkowanie numeryczne - Serwis Edukacyjny I LO