Cząstki identyczne

Z Wikipedii

Cząstki identyczne to cząstki nie różniące się żadną cechą. Ich nierozróżnialność polega na tym, że zmiana współrzędnych i spinów dwóch dowolnych cząstek tego samego rodzaju nie może zmienić prawdopodobieństwa znalezienia każdej z nich w określonej objętości. Liczby kwantowe cząstek identycznych są jednakowe. Funkcje falowe układu cząstek identycznych są albo symetryczne (dla bozonów) albo antysymetryczne (dla fermionów) przy zamianie liczb kwantowych tych cząstek.

Mechanika klasyczna mówi nam, że cząstki, pomimo że są identyczne (mają tę samą masę, wymiary, itp.), są rozróżnialne. Możemy np. obserwować ich trajektorie podczas ruchu.

Mechanika kwantowa z kolei zakłada, że identyczne cząstki nie są rozróżnialne. Identyczne tzn. mające takie same współrzędne i spiny.

Dla dowolnego układu $N$ cząstek zapiszemy zatem:

$\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)$

gdzie $\left(1,2,\ldots,N\right)$ to zbiór współrzędnych i spinów kolejnych cząstek wchodzących w skład układu kwantowego. Przy zamianie dwóch cząstek (weźmy pierwszą i drugą cząstkę) funkcja falowa może zmienić się tylko o nieistotny czynnik fazowy $e^{ia_{12}}$ , gdzie $a 12$ to liczba rzeczywista. Wynika to z tego co powiedzieliśmy wcześniej --- cząstki są identyczne i nierozróżnialne, zatem zamiana ich miejscami nie może prowadzić do zmiany wartości funkcji falowej układu.

$\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)$ (*)

Teraz wyobraźmy sobie kolejną zmianę --- z powrotem przestawmy cząstki 2 i 1. W ten sposób powinniśmy powrócić do początkowej konfiguracji układu. Podczas drugiej zmiany ponownie wprowadzamy czynnik fazowy:

$\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)$

Do prawej strony otrzymanego wyrażenia podstawmy teraz równanie (*):

$\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}e^{ia_{12}}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)$

Nietrudno zauważyć, że:

$e^{ia_{12}}e^{ia_{12}}=1$

czyli

$e^{2ia_{12}}=1$

$e^{ia_{12}}=\pm1$

Ostatnie równanie podstawmy do równania (*). W ten sposób otrzymamy:

$\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=\pm\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)$

[edytuj] Wniosek #1

Funkcja falowa układu cząstek może mieć symetryczny lub antysymetryczny charakter. Funkcja symetryczna obowiązuje wszystkie bozony. Przestawienie dwóch cząstek nie zmienia jej wartości. Z kolei funkcja antysymetryczna opisuje układy fermionów, a przestawienie pary takich cząstek powoduje zmianę znaku wartości funkcji falowej. Jednym słowem charakter symetrii funkcji falowej zależy od spinu cząstek.

[edytuj] Wniosek #2

Zakaz Pauliego --- Z antysymetrii funkcji falowych układów elektronów można wyciągnąć ważny wniosek, zwany zasadą wykluczania lub zasadą Pauliego. Otóż w układzie elektronów (ogólnie fermionów) nieoddziaływujących ze sobą żadne dwa fermiony tego samego rodzaju nie mogą posiadać identycznych liczb kwantowych (tych samych funkcji falowych).