Kryterium stabilności Routha-Hurwitza

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy kryterium Adolfa Hurwitza z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce. Zobacz też: kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji.

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza jest metodą pozwalającą określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

${a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}=0$

Z punktu widzenia algebry kryterium Routha-Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystujemy wyznacznik główny równania charakterystycznego

$D_{n}=\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n} & 0 & 0 & \cdots\\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & 0 & \cdots\\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} & \cdots\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \end{vmatrix}$

oraz jego podwyznaczniki $D_{k}\,$ , gdzie $1 \leq k \leq n\,$ powstałe z k pierwszych wierszy i kolumn wyznacznika głównego

$D_{1}=\begin{vmatrix} a_{n-1}\\ \end{vmatrix},\ D_{2}=\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n}\\ a_{n-3} & a_{n-2}\\ \end{vmatrix},\ D_{3}=\begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n} & 0\\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1}\\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3}\\ \end{vmatrix},\ \ldots$

Aby układ regulacji był stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są tego samego znaku
Wszystkie podwyznaczniki $D_{k}\,$ wyznacznika głównego są większe od zera

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności. W praktyce nie jest konieczne sprawdzanie drugiego warunku dla podwyznaczników $D_{1}\,$ i $D_{n}\,$ , gdyż $D_{1}=a_{n-1}\,$ oraz $D_{n}=a_{0}D_{n-1}\,$ .

Kategoria: Automatyka

We provide Linux to the World

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza

Z Wikipedii

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach