Krzywa eliptyczna
Z Wikipedii
Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: dużo błędów zostało zakomentowanych w kodzie strony |
Krzywa eliptyczna - pojęcie z zakresu geometrii algebraicznej, oznaczające wg współczesnej definicji gładką krzywą algebraiczną (czyli rozmaitość algebraiczną wymiaru 1) o genusie równym 1 wraz z wyróżnionym punktem O, zwanym "punktem w nieskończoności". Elementy krzywej rozumianej jako zbiór nazywa się, zgodnie z terminologią geometryczną, punktami.
Dowodzi się, że każda krzywa eliptyczna jest rozmaitością abelową - można na niej zdefiniować w sensowny (zgodny z własnościami geometroalgebraicznymi) sposób operację grupową ("dodawanie" punktów), dla której O jest elementem neutralnym.
Można również pokazać, że każdą krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem K można zapisać w postaci równania:
- y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6
dla pewnych stałych , gdzie x, y to współrzędne punktów na płaszczyźnie K2. Reprezentacja taka z reguły nie jest jednoznaczna. W szczególnych przypadkach definicję tę można znacznie uprościć. Równanie to przedstawia tzw. model afiniczny krzywej eliptycznej.
[edytuj] Postać normalna krzywej
W przypadku, gdy charakterystyka ciała K jest inna, niż 2 i 3 (czyli, w szczególności, np. jeśli krzywa jest zdefiniowana nad liczbami zespolonymi), równanie afiniczne krzywej można uprościć do postaci:
- y2 = x3 − px − q,
nazywanej równaniem (postacią) Weierstrassa.
Dla ciała charekterystyki 3 najbardziej ogólną postacią równania jest:
- y2 = 4x3 + b2x2 + 2b4x + b6
[edytuj] Zastosowania
Dzięki zastosowaniu krzywych eliptycznych udało się rozwiązać jeden z najstarszych problemów matematycznych: przeprowadzić dowód wielkiego twierdzenia Fermata. Problem ten pozostawał nierozwiązany przez blisko 400 lat, zaś jego rozwiązanie podał Wiles w roku 1994, korzystając właśnie z pojęć z zakresu krzywych eliptycznych. Dowód jednak zawierał poważne luki i niedociągnięcia, które wraz z współpracownikami Wilesowi udało się usunąć dopiero w roku 2000.