Liczby Catalana
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.
|
kombinacja bez powtórzeń wariacja bez powtórzeń liczby Bella zasada szufladkowa Dirichleta |
Liczby Catalana – szczególny ciąg liczbowy, mający zastosowanie w różnych aspektach kombinatoryki. Nazwane zostały na cześć belgijskiego matematyka Eugène Charles'a Catalana (1814–1894). Bywają również nazywane liczbami Segnera, na cześć matematyka pochodzącego z Karpat Niemieckich, Jána Andreja Segnera (1704-1777).
Każdy n-ty wyraz ciągu określony jest wzorem jawnym:
Rekurencyjnie ciąg jest określony w następujący sposób:
Początkowe wartości ciągu, poczynając od zera, to:
- 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012, 742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190, 6564120420,24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324,
Spis treści |
[edytuj] Własności
Liczby Catalana spełniają zależność:
- .
W sposób oczywisty pokazuje to, iż każda liczba Catalana jest liczbą naturalną. Inną postacią wzoru rekurencyjnego (tym razem pierwszego stopnia) jest:
- ,
Przybliżenie wartości n-tej liczby Catalana jest możliwe dzięki wzorowi Stirlinga na wartość silni i ma postać:
[edytuj] Znaczenia kombinatoryczne
Liczby Catalana posiadają wiele różnych interpretacji kombinatorycznych. Podane niżej stanowią jedynie przykłady zastosowań:
[edytuj] Liczba dróg
Jeżeli rozważymy wszystkie łamane, zaczynające się w początku kartezjańskiego układu współrzędnych i kończące w (0,2n) dla każdego , położone w jego I ćwiartce i złożone z pojedynczych odcinków o początku (x,y) i końcu w punkcie (x + 1,y + 1) lub (x + 1,y − 1) (gdzie ), to ich liczba będzie wyrażona n-tą liczba Catalana.
[edytuj] Liczba rozmieszczeń nawiasów
Poprzez rozumiemy pewne działanie dwuargumentowe. Dla n-argumentów liczba cn − 1 wyraża liczbę sposobów, na które można rozmieścić nawiasy w takim wyrażeniu, czyli - dla działania niełącznego - maksymalną liczbę wyników, które można uzyskać. Przykładowo, dla trzech argumentów x1,x2,x3 otrzymać można lub , co odpowiada c3 − 1 = c2 = 2.
[edytuj] Liczba drzew binarnych
cn jest równa liczbie różnych ukorzenionych drzew binarnych o n+1 liściach.
[edytuj] Liczba monotonicznych dróg
Jeżeli rozpatrzymy wszystkie możliwe drogi w kwadracie z dolnego lewego wierzchołka do górnego prawego, tak, by nigdy nie przekroczyć przekątnej łączącej te wierzchołki i były monotoniczne, łatwo jest zauważyć, że wyrażają się one n-tą liczbą Catalana. Odpowiada to liczbie monotonicznych funkcji f z w takich, by
[edytuj] Liczba podziałów na trójkąty
Liczba cn wyraża liczbę sposobów podziału wielokąta wypukłego, mającego n + 2 krawędzie, na różne trójkąty przy pomocy przekątnych.
[edytuj] Dowód wzoru jawnego
Dowód wzoru można otrzymać na wiele sposobów i zależnie od różnych interpretacji liczb Catalana. Przyjmując, że rozpatrujemy przypadek liczby dróg z punktu (0,0) do (0,2n) i przy założeniu c0 = 1 otrzymamy:
- c1 = 1 – bowiem do punktu (0,2) prowadzi jedna tylko droga,
- – ponieważ do punktu (0,2) prowadzi jedna droga c1, zaś z tego punktu do (0,4) można przejść zgodnie z założonymi możliwościami wyboru kolejnego odcinka składowego na jeden sposób.
Rozważmy teraz pewne przesunięcie układu współrzędnych tak, by punkt (1,1) stał się środkiem nowego układu współrzędnych – wówczas do punktu (1,3) prowadzi tyle samo dróg, co z punktu (0,0) do (0,2), zaś z (1,3) wykonując ruch zgodnie z założeniami można przejść na jeden sposób do punktu (0,4).
Postępując dalej analogicznie, otrzymamy:
- .
Aby otrzymać wzór jawny, którym określony jest ciąg, można użyć techniki funkcji tworzących ciągu.
Niech będzie funkcją tworzącą tego ciągu. Wówczas:
- ,
co wynika z definicji operacji mnożenia funkcji tworzących. Mamy więc
Rozwiązując to równanie, po przyjęciu za szukaną zmienną C(x) otrzymujemy:
Ponieważ
- ,
to rozpatrujemy jedynie pierwiastek .
Korzystając z uogólnionego na liczby rzeczywiste symbolu Newtona oraz jego własności okazuje się, że
- .
Po zmianie granic sumowania otrzymujemy
- .
Z własności funkcji tworzących wiemy, że n-ty wyraz ciągu jest równy współczynnikowi przy n-tej potędze x, czyli;
[edytuj] Historia
Liczby te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Eulera w XVIII wieku, który badał liczbę podziałów wielokątów na trójkąty. Zostały nazwane na cześć Eugène Charles'a Catalana, który rozważał je jako liczbę sposobów rozmieszczeń nawiasów.