Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Uwagi
3 Przykład
4 Uogólnienia
5 Bibliografia

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa - odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej $X$ .

[edytuj] Definicja

Niech $(X, d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a $H (X)$ przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni $X$ . Niech $A$ i $B$ będą elementami przestrzeni $H (X)$ , a $x, y$ elementami przestrzeni $X$ , przy czym $x \in A, y \in B$ . Wyrażenia:

$\delta(x,B)=\min \{ d(x,y)\colon y \in B \}$

$\delta(y,A)=\min \{ d(x,y)\colon x \in A \}$

oznaczają odpowiednio odstęp punktu $x$ od zbioru $B$ i odstęp punktu $y$ od zbioru $A$ . Z kolei wyrażenia:

$\delta(A,B)=\max \{\delta(x,B)\colon x \in A \}$

$\delta(B,A)=\max \{\delta(y,A)\colon y \in B \}$

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru $A$ od zbioru $B$ i odstęp zbioru $B$ od zbioru $A$ .
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję $h\colon H(X) \times H(X) \to [0; \infty)$ określoną wzorem:^[1]

h (A, B) = max{δ(A, B),δ(B, A)}

[edytuj] Uwagi

Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów $A$ i $B$ .
Gdy $A \subseteq B$ , to $δ(A, B) = 0$ .
Gdy $B \backslash A \neq \emptyset$ , to $\delta(B, A) \neq 0$ .
Odstępy $δ(A, B)$ i $δ(B, A)$ mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy A jest podzbiorem właściwym zbioru B.
Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku $ε$ -otoczeń. Dla danego zbioru $A$ i $ε > 0$ oznaczamy $B (x,ε)$ kulę o środku $x$ i promieniu $ε$ oraz określamy

$A_\epsilon=\bigcup_{x\in A} B(x,\epsilon).$

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:

$h(A,B) = \inf\, \{\epsilon \;\colon \; B\subset A_\epsilon$ oraz $A\subset B_\epsilon\}.$

Odwzorowanie $x \mapsto \{x\}$ jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni X w przestrzeń H(X).

Przestrzeń $(H(X),\, h)$ , z wprowadzoną metryką Hausdorffa h, jest przestrzenią metryczną zupełną. Topologia przestrzeni $(H (X), h)$ zależy od topologii przestrzeni $(X,\,d)$ , a nie od samej metryki d: gdy metrykę d zastąpić przez topologicznie równoważną d' (obie w X), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w H(X) będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w H(X)).

Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą to $H (X)$ też jest przestrzenią zwartą.

[edytuj] Przykład

W przestrzeni $(\mathbb{R}^2, d)$ z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: $A\colon =[-2; 1]\times[-2; 1]$ oraz $B\colon =[0; 2]\times [0; 2]$ . Odpowiednie odległości wynoszą:

$\delta(A,B)= \sqrt8$

$\delta(B,A)= \sqrt2$

$h(A,B)= \sqrt8$

[edytuj] Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni $X$ . W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni $H (X)$ będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni $X$ , ale też od użytej w $X$ metryki $d$ .
Z kolei, dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki - odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

[edytuj] Bibliografia

↑ M.F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, San Diego, 1988.

Kategoria: Topologia

We provide Linux to the World

Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przykład

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach