Nierówność Schwartza

Z Wikipedii

Podstawowa nierówność w przestrzeni unitarnej mówiąca ze moduł iloczynu skalarnego między dowolnymi elementami przestrzeni jest zawsze mniejszy lub równy niż iloczyn ich długości tzn.

Jest uogólnieniem oczywistego faktu na plasczyźnie , że

, a tu dla iloczynu skalarnego

.

W teorii przestrzeni Hilberta jest twierdzeniem, nie aksjomatem.

[edytuj] Dowód

Rozważmy następujący iloczyn skalarny:

Z własności iloczynu skalarnego (addytywność, liniowość ze względu na pierwszy argument, sprzężona symetria):

Przyjmijmy wówczas:

Przy wyprowadzeniu powyższego wyrażenia korzystamy z faktu, że iloczyn skalarny z powtórzonym argumentem jest nieujemny. Lecz, na mocy tej własności mamy również:

Zatem zachodzi:

Po odpowiednim przekształceniu i spierwiastkowaniu stronami otrzymujemy nierówność Schwartza.