Punkty Brocarda

Z Wikipedii

Punkty Brocarda są to szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard, (1845-1922), sformułował następujące zdanie:

W trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty ω, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości: . Punkt P nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta ABC. Kąt ω jest kątem Brocarda trójkąta ABC.

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta ABC: punkt Q, dla którego odcinki AQ, BQ, CQ, wg kolejności, z bokami b, c, a tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości: .

Ciekawy jest fakt, iż temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi .

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ABC! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta ABC jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie ACB.

[edytuj] Konstrukcja

Przykład:

1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty A, B, C.

2. Kreślimy prostą c przez punkty A i B, prostą a przez punkty B i C oraz prostą b przez punkty C i A.

3. Kreślimy symetralną boku AB i oznaczamy ją przez c'.

4. Kreślimy prostą c" prostopadłą do prostej a przez punkt B.

5. Punkt przecięcia się symetralnej c' i prostej c" oznaczamy O1.

6. Z punktu O1 kreślimy okrąg o promieniu |O1 B|. Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt A i jest styczny do prostej a.

7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty C i B, styczny do prostej b; a następnie okrąg przez punkty A i C, styczny do prostej c.

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt - pierwszy punkt Brocarda trójkąta ABC.

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

[edytuj] Równania kąta Brocarda

Kiedy A_Δ oznaczymy powierzchnię trójkąta ABC, wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

• .
• 
• 

Dla każdego trójkąta: .

[edytuj] Właściwości

• Oba punkty Brocarda trójkąta ABC są ze sobą sprzężone izogonalnie.
• Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.