Równanie falowe
Z Wikipedii
Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.
Ogólną postacią równania falowego jest:
gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja u(x,t) jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie x w chwili t. Zadane są początkowe położenie fali f oraz początkowy impuls g. Fizycznie stała c oznacza prędkość światła. Matematycznie zwykłe przyjmuje się c = 1.
Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:
Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki n = 1,2,3.
Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a:
Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.
Spis treści |
[edytuj] Rozwiązania równania falowego
[edytuj] Równanie struny i wzór d'Alemberta
Jednowymiarowe (n = 1) równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:
Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:
-
- u(x,t) = α(x − ct) + β(x + ct),
gdzie α,β są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:
Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.
[edytuj] Równanie struny półnieskończonej
Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:
-
- u(0,t) = 0 dla dowolnego
Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:
[edytuj] Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa
Równanie falowe dla n = 3 ma postać
Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:
Jest to wzór Kirchhoffa.
[edytuj] Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona
Równanie falowe dla n = 2 można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności rozwiązaniem jest:
[edytuj] Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3
Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:
Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:
Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku | z − x | = ct.
[edytuj] Zasada Huygensa
Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie n = 3 oraz n = 2.
Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki .
Niech n = 3. Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że tylko w pewnym skończonym czasie . Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.
Inaczej dzieje się dla n = 2. Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak .
[edytuj] Referencje
- Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa