Wikipedysta:Stotr/brudnopisA
Z Wikipedii
Krata rozdzielcza (krata dystrybutywna) –
[edytuj] Zanurzanie krat (Birkhoffa) w algebrach Boole'a
- Zbiór B (algebry Boole'a) z relacją ≤ jest kratą rozdzielczą (dystrybutywną); operacje i są odpowiednimi operacjami kresu górnego i kresu dolnego. Ponadto jest to krata z 0 i 1, będącymi odpowiednio elementem najmniejszym i największym.
Krata zanurza się izomorficznie w algebrze Boole'a wtedy i tylko wtedy gdy jest rozdzielcza. Co więcej, gdy ma element najmniejszy lub największy lub oba (byle różne), to istnieje zanurzenie, które te elementy przeprowadza odpowiednio na 0 i 1 algebry Boole'a.
Ograniczmy się odtąd w tym fragmencie do krat rozdzielczych L z 0 i 1, jako odpowiednio najmniejszym i największym elementem kraty, oraz do homomorfizmów krat, które zachowują 0 i 1. Istnieje wtedy pewna algebra Boole'a βL oraz zanurzenie izomorficzne
-
-
- β : L → βL
-
uniwersalne (maksymalne) w następującym sensie:
(*) dla dowolnego homomorfizmu krat h : L → B, kraty L w algebrę Boole'a B, istnieje dokładnie jeden homomorfizm g : L → B taki, że:
Takie uniwersalne zanurzenie jest jedyne z dokładnością do izomorfizmu zanurzeń: jeżeli b : L → bL też jest uniwersalnym zanurzeniem, to istnieje dokładnie jeden izomorfizm algebr Boole'a i : βL → bL taki, że .
Zanurzenie uniwersalne β można skonstruować następująco: niech
-
-
- Ł := Hom(L, {0, 1})
-
będzie zbiorem wszystkich homomorfizmów krat, kraty L w kratę {0, 1}. Potęga kartezjańska
-
-
- C := {0, 1} Ł
-
dopuszcza kanoniczną strukturę algebry Boole'a. Zdefiniujmy homomorfizm krat
-
-
- Β : L → C (grecka duża beta "Β")
-
za pomocą wzoru:
-
-
- (Β(x))(h) := h(x)
-
dla każdego h ε Ł oraz x ε L. Niech teraz βL będzie najmniejszą podalgebrą Boole'a w C, która zawiera obraz Β(L), oraz niech β : L → βL odwzorowuje elementy L tak samo jak Β:
-
-
- β(x) := Β(x) dla każdego x ε L;
-
koniec konstrukcji. Jej poprawność opiera się na zdolności rozdzielania dowolnych dwóch elementów x ≠ y kraty rozdzielczej L przez homomorfizmy krat – istnieje homomorfizm h : L → {0, 1} dla ktorego h(x) ≠ h(y).
[edytuj] Słownik topologiczno-kratowy
Powyżej rzucała się w oczy analogia z sytuacją w topologii ogólnej. Ujmuje tę analogię poniższa tabela. Dla prostoty, rozpatrujmy kraty z zaznaczonymi elementami 0 i 1 (0 ≠ 1), oraz homomorfizmy, które zachowują 0 i 1. Zanurzenie izmorficzne kraty w algebrę Boole'a nazywamy gęstym, gdy obraz kraty generuje całą algebrę (dochodzi operacją dopełnienia, nieobecna w kracie, która bierze udział w generowaniu).
topologia | teoria krat |
---|---|
przestrzeń topologiczna | krata |
T3½ - przestrzeń | krata rozdzielna |
przestrzeń T2 - zwarta | algebra Boole'a |
[0;1] | {0, 1} |
funkcja ciągła | homomorfizm |
zanurzenie homeomorficzne | zanurzenie izomorficzne |
uzwarcenie | zanurzenie gęste w algebrę Boole'a |
uzwarcenie Čecha-Stone'a β | zanurzenie β |