Trójkąt liczbowy

Z Wikipedii

Trójkąt liczbowy - jest to poglądowy sposób prezentacji kolejnych wyrazów ciągów dwuwymiarowych (z dwiema zmiennymi indeksującymi) postaci:

$F_{n,k} = f(n,k)F_{n-1, k-1} + g(n,k) F_{n-1, k}\,$

z warunkami brzegowymi: $\begin{matrix} F_{n,0}= \alpha\\ F_{n,n}= \beta\\ \end{matrix}$ gdzie $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$

Spis treści

1 Najpopularniejsze trójkąty liczbowe:

[edytuj] Najpopularniejsze trójkąty liczbowe:

[edytuj] Trójkąt Pascala

przedstawia elementy opisywane przez symbol Newtona o równaniu rekurencyjnym:

${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}$

Z warunkami brzegowymi: ${n \choose 0} = 1,\ {n \choose n} = 1$

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1

[edytuj] Trójkąt liczb Stirlinga I rodzaju

przedstawia liczby Stirlinga I rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:

$\left[ \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right] = (n-1) \left[ \begin{matrix} n - 1\\ k\\ \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right]$

z warunkami początkowymi $\left[ \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right] = 1,\ \left[ \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right] = 0,\ \left[ \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right] = 1$

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960	322	28	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

[edytuj] Trójkąt liczb Stirlinga II rodzaju

przedstawia liczby Stirlinga II rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:

$\left\{ \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\} = k \left\{ \begin{matrix} n - 1\\ k\\ \end{matrix} \right\} + \left\{ \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\}$

z warunkami brzegowymi $\left\{ \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\} = 1,\ \left\{ \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\} = 0,\ \left\{ \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\} = 1$

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1

[edytuj] Trójkąt liczb Eulera I rzędu

Przedstawia liczby Eulera I rzędu, postaci:

$\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle = (k+1) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle + (n - k) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle$

Z warunkami brzegowymi $\left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle = 0$

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	0
2	1	1	0
3	1	4	1	0
4	1	11	11	1	0
5	1	26	66	26	1	0
6	1	57	302	302	57	1	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0

[edytuj] Trójkąt liczb Eulera II rzędu

Przedstawia liczby Eulera II rzędu, postaci:

$\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = (k+1) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n-1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle + (2n -1 -k) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle$

Z warunkami brzegowymi $\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 0$

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	0
2	1	2	0
3	1	8	6	0
4	1	22	58	24	0
5	1	52	328	444	120	0
6	1	114	1452	4400	3708	720	0
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040	0
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320	0
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880	0

Kategoria: Kombinatoryka

We provide Linux to the World

Trójkąt liczbowy

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Najpopularniejsze trójkąty liczbowe:

[edytuj] Trójkąt Pascala

[edytuj] Trójkąt liczb Stirlinga I rodzaju

[edytuj] Trójkąt liczb Stirlinga II rodzaju

[edytuj] Trójkąt liczb Eulera I rzędu

[edytuj] Trójkąt liczb Eulera II rzędu

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj