Z Wikipedii
Poniższa tabela zawiera liczby boków, dla wszystkich wielokątów foremnych dających się skonstruować cyrklem i linijką, mniejsze od miliona: |
3=20×3 |
4=22 |
5=20×5 |
6=21×3 |
8=23 |
10=21×5 |
12=22×3 |
15=20×3×5 |
16=24 |
17=20×17 |
20=22×5 |
24=23×3 |
30=21×3×5 |
32=25 |
34=21×17 |
40=23×5 |
48=24×3 |
51=20×3×17 |
60=22×3×5 |
64=26 |
68=22×17 |
80=24×5 |
85=20×5×17 |
96=25×3 |
102=21×3×17 |
120=23×3×5 |
128=27 |
136=23×17 |
160=25×5 |
170=21×5×17 |
192=26×3 |
204=22×3×17 |
240=24×3×5 |
255=20×3×5×17 |
256=28 |
257=20×257 |
272=24×17 |
320=26×5 |
340=22×5×17 |
384=27×3 |
408=23×3×17 |
480=25×3×5 |
510=21×3×5×17 |
512=29 |
514=21×257 |
544=25×17 |
640=27×5 |
680=23×5×17 |
768=28×3 |
771=20×3×257 |
816=24×3×17 |
960=26×3×5 |
1020=22×3×5×17 |
1024=210 |
1028=22×257 |
1088=26×17 |
1280=28×5 |
1285=20×5×257 |
1360=24×5×17 |
1536=29×3 |
1542=21×3×257 |
1632=25×3×17 |
1920=27×3×5 |
2040=23×3×5×17 |
2048=211 |
2056=23×257 |
2176=27×17 |
2560=29×5 |
2570=21×5×257 |
2720=25×5×17 |
3072=210×3 |
3084=22×3×257 |
3264=26×3×17 |
3840=28×3×5 |
3855=20×3×5×257 |
4080=24×3×5×17 |
4096=212 |
4112=24×257 |
4352=28×17 |
4369=20×17×257 |
5120=210×5 |
5140=22×5×257 |
5440=26×5×17 |
6144=211×3 |
6168=23×3×257 |
6528=27×3×17 |
7680=29×3×5 |
7710=21×3×5×257 |
8160=25×3×5×17 |
8192=213 |
8224=25×257 |
8704=29×17 |
8738=21×17×257 |
10240=211×5 |
10280=23×5×257 |
10880=27×5×17 |
12288=212×3 |
12336=24×3×257 |
13056=28×3×17 |
13107=20×3×17×257 |
15360=210×3×5 |
15420=22×3×5×257 |
16320=26×3×5×17 |
16384=214 |
16448=26×257 |
17408=210×17 |
17476=22×17×257 |
20480=212×5 |
20560=24×5×257 |
21760=28×5×17 |
21845=20×5×17×257 |
24576=213×3 |
24672=25×3×257 |
26112=29×3×17 |
26214=21×3×17×257 |
30720=211×3×5 |
30840=23×3×5×257 |
32640=27×3×5×17 |
32768=215 |
32896=27×257 |
34816=211×17 |
34952=23×17×257 |
40960=213×5 |
41120=25×5×257 |
43520=29×5×17 |
43690=21×5×17×257 |
49152=214×3 |
49344=26×3×257 |
52224=210×3×17 |
52428=22×3×17×257 |
61440=212×3×5 |
61680=24×3×5×257 |
65280=28×3×5×17 |
65535=20×3×5×17×257 |
65536=216 |
65537=20×65537 |
65792=28×257 |
69632=212×17 |
69904=24×17×257 |
81920=214×5 |
82240=26×5×257 |
87040=210×5×17 |
87380=22×5×17×257 |
98304=215×3 |
98688=27×3×257 |
104448=211×3×17 |
104856=23×3×17×257 |
122880=213×3×5 |
123360=25×3×5×257 |
130560=29×3×5×17 |
131070=21×3×5×17×257 |
131072=217 |
131074=21×65537 |
131584=29×257 |
139264=213×17 |
139808=25×17×257 |
163840=215×5 |
164480=27×5×257 |
174080=211×5×17 |
174760=23×5×17×257 |
196608=216×3 |
196611=20×3×65537 |
197376=28×3×257 |
208896=212×3×17 |
209712=24×3×17×257 |
245760=214×3×5 |
246720=26×3×5×257 |
261120=210×3×5×17 |
262140=22×3×5×17×257 |
262144=218 |
262148=22×65537 |
263168=210×257 |
278528=214×17 |
279616=26×17×257 |
327680=216×5 |
327685=20×5×65537 |
328960=28×5×257 |
348160=212×5×17 |
349520=24×5×17×257 |
393216=217×3 |
393222=21×3×65537 |
394752=29×3×257 |
417792=213×3×17 |
419424=25×3×17×257 |
491520=215×3×5 |
493440=27×3×5×257 |
522240=211×3×5×17 |
524280=23×3×5×17×257 |
524288=219 |
524296=23×65537 |
526336=211×257 |
557056=215×17 |
559232=27×17×257 |
655360=217×5 |
655370=21×5×65537 |
657920=29×5×257 |
696320=213×5×17 |
699040=25×5×17×257 |
786432=218×3 |
786444=22×3×65537 |
789504=210×3×257 |
835584=214×3×17 |
838848=26×3×17×257 |
983040=216×3×5 |
983055=20×3×5×65537 |
986880=28×3×5×257 |
|
Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 i nie wiadomo czy jest ich więcej.
W szczególności we wzorze może być s = 0 (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne), lub k = 0 (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt i sześciokąt foremny , ale już nie siedmiokąt.
W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki n-kąty foremne dla n postaci 2k, , i .
W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny[1], a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.
257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.
[edytuj] Związek z trójkątem Pascala
Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem , tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu, zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:
1 = 1
3 = 1 1
5 = 1 0 1
15 = 1 1 1 1
17 = 1 0 0 0 1
51 = 1 1 0 0 1 1
85 = 1 0 1 0 1 0 1
255 = 1 1 1 1 1 1 1 1
257 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1
itd.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
- Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5.
- John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X.
Przypisy
- ↑ Konstrukcja jest przedstawiona na stronie [1]