Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Z Wikipedii

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza - twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Spis treści 1 Reguła Leibniza 2 Dowód 3 Źródła 4 Zobacz też

[edytuj] Reguła Leibniza

Niech f(x,y) będzie funkcją określoną dla wszystkich x należących do pewnego przedziału [a,b] i wszystkich wartości dla pewnych , c < d. Przypuśćmy również, że funkcja f jest ciągła na zbiorze oraz że ma ona na tym zbiorze ciągłą pochodną cząstkową .

Dla określmy

.

Wówczas funkcja I jest różniczkowalna oraz dla każdego mamy

.

[edytuj] Dowód

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

Przy naszych założeniach o funkcji f możemy zamienić kolejność całkowania i obliczania granicy w ostatniej formule, otrzymując

[edytuj] Źródła

1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966. 

[edytuj] Zobacz też

• Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego,
• Twierdzenie Fubiniego.